Olimpíadas ⇒ (OBM - 2007) Sistema de Equações Não-Lineares Tópico resolvido

[italoemanuell]

(OBM-2007) Sejam a,b e c números tais que:
[tex3]\begin{cases}a^2-ab=1\\b^2-bc=1\\c^2-ac=1\end{cases}[/tex3]

O valor de [tex3]abc\cdot(a+b+c)[/tex3] é igual a:

A)0
B)1
C)2
D)-1
E)-3

[marco_sx]

Olá

[tex3]a.(a-b)=1[/tex3], [tex3]b.(b-c)=1[/tex3], [tex3]c.(c-a)=1[/tex3]

[tex3]a^2-ab=b^2-bc \Rightarrow a^2-b^2=ab-bc \Rightarrow (a+b).(a-b)=b.(a-c) \Rightarrow (a+b).\frac{1}{a}=b.(-\frac{1}{c}) \Rightarrow a+b=-\frac{ab}{c} \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow a+b+c=-\frac{ab}{c}+c \\\Rightarrow (a+b+c).c=c^2-ab \\\Rightarrow (a+b+c).abc=ab.(c^2-ab) \\\Rightarrow (a+b+c).abc=ab.(1+ac-ab) \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow (a+b+c).abc=ab.[1-a.(b-c)]=ab.(1-\frac{a}{b})=a.(b-a)=-a.(a-b)[/tex3]

Portanto: [tex3]abc.(a+b+c)=-1[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

Creio que seja mais uma maneira de solucionar o sistema.

[tex3]a-b = \frac{1}{a}[/tex3]

[tex3]b-c = \frac{1}{b}[/tex3]

[tex3]c-a = \frac{1}{c}[/tex3]

[tex3]\frac{ab + bc + ca}{abc} = 0[/tex3]

[tex3]ab + bc + ca = 0[/tex3]


multiplicando as 3 equações temos

[tex3]a^2b^2c^2 = 1 + ab + bc + ca + a^2bc + ab^2c + abc^2 + a^2b^2c^2[/tex3]

[tex3]1 + ab + bc + ca + a^2bc + ab^2c + abc^2 = 0[/tex3]

[tex3]abc (a + b + c) = -1[/tex3]

tá ai.