Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Combinações Simples e Geometria Plana Tópico resolvido

[carlos_neves]

Estou com dificuldade nesta questão:

Dados n pontos de um plano, não havendo 3 colineares, quantos são os pontos de intersecção das retas formadas por esses pontos, excluindo desse número os n pontos dados?

Agradeço qualquer ajuda.

[Thales Gheós]

[tex3]C_n^3=\frac{n!}{6(n-3)!}[/tex3] é o número de retas

cada reta pode cruzar todas as outras:

[tex3]\left(\frac{n!}{6(n-3)!}\right)^2[/tex3] é o número de pontos de cruzamento

[tex3]\left(\frac{n!}{6(n-3)!}\right)^2-n[/tex3] é o número de pontos de cruzamento excluídos os [tex3]n[/tex3] pontos dados.

Ainda dá prá melhorar:

[tex3]\left(\frac{n!}{6(n-3)!}\right)^2-n=\left(\frac{(n-4)!}{6}\right)^2-n[/tex3]

[carlos_neves]

Thales, obrigado por responder.

Acredito que você cometeu alguns enganos.
O número de retas é [tex3]C_n^2[/tex3].
[tex3]C_n^3[/tex3] é o número de triângulos que podem ser feitos com os n pontos.

A resposta dada é [tex3]3.C_n^4[/tex3].

[carlos_neves]

Alguém mais tem alguma idéia para resolver essa questão?
Não consigo chegar na resposta.

[Alexandre_SC]

eu penso o seguinte

número de retas = [tex3]C_n^2 = \frac{n!}{2*(n-2)!} = \frac{n!*(n-1)*n}{2 n!} = \frac{n^2-n}{2}[/tex3]

É verdade que o problema não especificou se quantas das retas formadas são paralelas.

vou considerar que não há!
[tex3]\frac{n^2-n}{2} * \(\frac{n^2-n}{2}-1\) = \frac{n^4-2n^3+n}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{n^4-2n^3-3n}{4}[/tex3]

Que tal, HORRÍVEL Tantas resoluções distintas para o mesmo problema!


:twisted: