IME / ITA ⇒ (IME CG - 1997) Geometria Tópico resolvido

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Em cada uma das 6(seis) faces de um cubo, construiu-se uma circunferência, onde foram marcados n pontos. Considerando que 4 (quatro) pontos não pertencentes à mesma face, não sejam coplanares, quantas retas e triângulos, não contidos nas faces desse cubo, são determinados pelos pontos.

[PedroCunha]

Como um cubo tem seis faces e temos [tex3]n[/tex3] pontos por face, o total de pontos é [tex3]6n[/tex3]. Veja que para formar uma reta, bastam [tex3]2[/tex3] pontos. Sabendo que a reta [tex3]AB[/tex3] é a igual à reta [tex3]BA[/tex3], o total de retas que não pertencem às faces do cubo é:

[tex3]C_{6n,2} - 6 \cdot C_{n,2} = \frac{6n!}{(6n-2)!2!} - 6 \cdot \frac{n!}{(n-2)!2!} \therefore \\\\ \frac{6n \cdot (6n-1) \cdot (6n-2)!}{(6n-2)!2!} - 6 \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!2!} \therefore \frac{36n^2 - 6n - 6n^2 + 6n}{2!} \therefore \frac{30n^2}{2} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{15n^2}}[/tex3]

Para formarmos triângulos, são necessários três pontos. Logo, o total de triângulos possíveis é:

[tex3]C_{6n,3} = \frac{6n!}{(6n-3)!3!} \therefore C_{6n,3} = \frac{\cancel{6}n \cdot (6n-1) \cdot (6n-2) \cdot \cancel{(6n-3)!}}{\cancel{(6n-3)!} \,\,\cancel{3!}} \\\\ \Leftrightarrow n \cdot (6n-1) \cdot (6n-2)[/tex3]

Mas como não queremos os triângulos contidos nas faces do cubo, devemos retirar o seguinte:

[tex3]6 \cdot C_{n,3} = \cancel{6} \cdot \frac{n!}{(n-3)!\cancel{3!}} \therefore \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cancel{(n-3)!}}{\cancel{(n-3)!}} \therefore n \cdot (n-1) \cdot (n-2)[/tex3]

De forma que ficamos com:

[tex3]n \cdot (6n-1) \cdot (6n-2) - (n \cdot (n-1) \cdot (n-2)) \therefore \\\\ n \cdot (36n^2 - 18n + 2) - n \cdot (n^2 - 3n + 2) \therefore 36n^3 - 18n^2 + 2n - n^3 + 3n^2 - 2n \therefore \\\\ 35n^3 - 15n^2 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{5n^2 \cdot (7n - 3)}}[/tex3]

Att.,
Pedro