IME / ITA ⇒ (AMAN - 2000) Geometria Espacial Tópico resolvido

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Uma esfera está inscrita num octaedro regular de aresta [tex3]a[/tex3].
Determine, em função de [tex3]a[/tex3], o volume interior ao octaedro e exterior à esfera.

[adrianotavares]

Olá, filipeot.

Pirâmide 1.0.GIF (3.01 KiB) Exibido 1885 vezes

O raio de uma esfera inscrita num octaedro é dado por:

[tex3]r=\frac{\sqrt{6}a}{6}[/tex3]

[tex3]g=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex3] ---> altura de um triângulo equilátero

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo apótema da pirâmide (altura de uma face lateral) temos:

[tex3]h^2= \frac{3a^2}{4}- \frac{a^2}{4} \Rightarrow h^2= \frac{a^2}{2} \Rightarrow h= \frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

O volume do octaedro é igual ao volume de duas pirâmides de base comum.

[tex3]V_o= 2(\frac{A_b.h}{3}) \Rightarrow V_o= \frac{2}{3}.A_b.h \Rightarrow V_o= \frac{2}{3}.a^2.\frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow V_o= \frac{\sqrt{2}a^3}{3}[/tex3]

O volume da esfera é dado por:

[tex3]V_e= \frac{4\pi r^3}{3}[/tex3]

[tex3]r^3= \frac{6\sqrt{6}a^3}{6^3} \Rightarrow r^3= \frac{\sqrt{6}a^3}{36}[/tex3]

[tex3]V_e= \frac{4}{3}.\frac{\sqrt{6}a^3}{36}.\pi \Rightarrow V_e= \frac{\sqrt{6}\pi a^3}{27}[/tex3]

[tex3]V=V_o-V_e \Rightarrow V= \frac{\sqrt{2}a^3}{3}-\frac{\sqrt{6}\pi a^3}{27} \Rightarrow V=\frac{9\sqrt{2}a^3-\sqrt{6}\pi a^3}{27}[/tex3]