Pré-Vestibular ⇒ (IFCE - 2009) Complexos

[jacobi]

Se [tex3]z_1[/tex3], [tex3]z_2[/tex3], [tex3]z_3[/tex3] são números complexos, tais que [tex3]\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}[/tex3] é um número real, mostre que os pontos do plano que correspondem a esses números complexos são colineares.

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Sejam [tex3]z_1=x_1+iy_1[/tex3], [tex3]z_2=x_2+iy_2[/tex3] e [tex3]z_3=x_3+iy_3[/tex3].
Assim
[tex3]\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=\frac{(x_3-x_1)+i(y_3-y_1)}{(x_2-x_1)+i(y_2-y_1)}[/tex3]
Como por hipótese esta expressão é um número real,[tex3]k[/tex3], temos que:
[tex3]\frac{(x_3-x_1)+i(y_3-y_1)}{(x_2-x_1)+i(y_2-y_1)}=k[/tex3]
[tex3](x_3-x_1)+i(y_3-y_1)=k(x_2-x_1)+ik(y_2-y_1)[/tex3]
Daí,
[tex3]x_3-x_1=k(x_2-x_1)[/tex3] (I)
[tex3]y_3-y_1=k(y_2-y_1)[/tex3] (II)
Se [tex3]k=0[/tex3] é imediato que os pontos são colineares.
Se [tex3]k\neq 0[/tex3] então dividindo (I) por (II), temos:
[tex3]\frac{x_3-x_1}{y_3-y_1}=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}[/tex3]
[tex3]x_1(y_1-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)=0[/tex3]
[tex3]\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|=0[/tex3]
ou seja, os pontos do plano que correspondem a esses números complexos são colineares.