Ensino Médio ⇒ ( Sistema - estações do metô ) Tópico resolvido

[Roberta2008]

( UNIVERSA/APEX/2009/TI )
o metrõ de uma cidade tem 21 estações. Cada estação desse metrô tem de duas a quatro linhas de ônibus destinadas à integração, em um total de 67 linhas. O número de estações desse metrõ com quatro linhas de õnibus destinadas à integração é igual ao dobro do número de estações com duas linhas de ônibus para essa finalidade. A primeira estação e a última têm três linhas integradas em cada uma. Nessas condições, um passageiro que embarcar na primeira estação desse metrô terá quantas opções de descer em uma estação que ofereça quatro linhas de ônibus para integração?

A) 2 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9

[gab letra D]

Tentei resolver por meio de sistema, mas, pelo jeito, cometi algum erro, pois não consegui chegar a um nr inteiro. Tive dificuldade em isolar a variável z tb.

tentei:
X = nr de estações com 2 linhas
Y = nr de estações com 4 linhas
Z = nr de estações com 3 linhas

X/2 + Y/4 + Z/3 = 67 combinada com Y = 2X = > X/2 + 2X/4 + Z/3 = 67

cheguei a e à equação 12X + 4Z= 804

Não consegui isolar o Z.
Acho que o 21 deveria entrar em alguma parte, .. mas ... onde? colocando na equação, dividindo pelo 67 não dá certo...

Tb me ocorre correlacionar desta forma...

21 = 67 / [X/2 + Y/4 + Z/3]

e chegar à equação : ( 6X + 3Y + 4Z) 21 = 67 ... substituindo-se ... Y =2X ...

( 12 X + 4Z) 21 = 67 ... mas e pra isolar o Z?

Agradeço qquer dica, inclusive um caminho mais curto...
Abs.. Roberta

[adrianotavares]

Olá, Roberta..

[tex3]x_2[/tex3]--> estações com duas linhas

[tex3]x_3[/tex3]---> estações com três linhas

[tex3]x_4[/tex3]---> estações com quatro linhas

Pelo enunciado temos:

[tex3]x_4=2x_2[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

Como o total é [tex3]21[/tex3] estações teremos:

[tex3]x_2+x_3+x_4= 21[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]x_2+x_3+2x_2= 21 \Rightarrow 3x_2+x_3= 21[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

Como o total é de [tex3]67[/tex3] linhas de ônibus podemos escrever:

[tex3]2x_2+3x_3+4x_4= 67[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](iv)[/tex3] teremos:

[tex3]2x_2+3x_3+4(2x_2)= 67 \Rightarrow 10x_2+3x_3= 67[/tex3] [tex3](v)[/tex3]

Resolvendo o sintema formado por [tex3](iii)[/tex3] e [tex3](v)[/tex3] encontraremos:

[tex3]x_2=4[/tex3] e [tex3]x_3=9[/tex3]

[tex3]x_4= 2x_2 \Rightarrow x_4= 8[/tex3]

Alternativa:D