Pré-Vestibular ⇒ (UFMG) Geometria Analítica: Ponto Médio de um Segmento Tópico resolvido

[Futuro Engenheiro]

Considere [tex3]A = (2,1)[/tex3] e [tex3]B= (4,0)[/tex3] dois pontos no plano cartesiano. As coordenadas do ponto [tex3]C,[/tex3] simétrico do ponto [tex3]A[/tex3] em relação ao ponto [tex3]B[/tex3] é.

desde já obrigado.

[bigjohn]

Ae muleke, ser simétrico quer dizer que ele vai ser colinear com os outros dois e a distância de [tex3]B[/tex3] até [tex3]A[/tex3] vai ser igual à distancia de [tex3]B[/tex3] até [tex3]C[/tex3].
colineares estao na mesma reta, a reta [tex3]AB[/tex3] com coeficiente angular [tex3]m[/tex3]

[tex3]m=\frac{1-0}{2-4}=-\frac{1}{2}[/tex3]

equaçao da reta: [tex3](y-0)=-\frac{1}{2}(x-4)[/tex3]
[tex3]y=-\frac{1}{2}(x-4)[/tex3]

E a distancia igual a gente garante fazendo um circulo com centro em [tex3]B[/tex3] e raio [tex3]BA.[/tex3] O raio a gente calcula pela distancia de [tex3]B[/tex3] até [tex3]A:[/tex3]

[tex3]\text{raio}=\sqrt{(4-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt 5[/tex3]

e a equaçao do circulo é:

[tex3](x-4)^2+y^2=(\sqrt 5)^2[/tex3]

agora pra achar o ponto [tex3]C[/tex3] a gente faz a interseçao da reta e do circulo. Fazendo assim a gente garante a colinearidade e a distancia.
Coloca o valor de [tex3]y[/tex3] da equaçao da reta na equaçao do circulo:

[tex3](x-4)^2+(-\frac{1}{2}(x-4))^2=5[/tex3]
dai vai dar os valores

[tex3]x=6[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3]
O [tex3]x=2[/tex3] é do [tex3]A,[/tex3] entao o [tex3]x[/tex3] do [tex3]C[/tex3] é [tex3]6[/tex3] e o [tex3]y[/tex3] a gente bota na equacao da reta pra descobrir.
[tex3]y=-\frac{1}{2}(6-4)[/tex3]
[tex3]y=-1[/tex3]

dai a resposta é [tex3]C(6, -1)[/tex3]
flw

[paulo testoniMOD]

Eta piá bom. Sabe tudo e um pouco mais.

[mawapa]

E ae bigjohn, tá mandando muito bem no fórum, muito boas as resoluções.

O ponto [tex3]C[/tex3] simétrico não seria [tex3](6,-1),[/tex3] e dai daria pra fazer [tex3]B[/tex3] sendo o ponto médio entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3]

[tex3]4 = \frac{2+x}{2}[/tex3]
[tex3]x = 6[/tex3]

[tex3]0 = \frac{1 + y}{2}[/tex3]
[tex3]y = -1[/tex3]

Daí dá uma olhada vê se da pra fazer assim!

[bigjohn]

ae Mawapa e Paulo, valeu ae pelos elogios!!!
Caraca, tinha errado o sinal mesmo na resolução qu eu fiz... a resposta do mawapa é a correta mesmo...
ah, e o jeito de fazer também é bem mais simples. Acho que tá correto mermo...
flw ae, mulekada