IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1995) Divisibilidade Tópico resolvido

[ggarcia]

Sabendo-se que o resultado de [tex3]12\times 11\times10\times\ldots \times 3\times 2\times 1+14[/tex3] é divisível por [tex3]13,[/tex3] qual o resto da divisão do número [tex3]13\times 12\times 11\times \ldots\times 3\times 2\times 1[/tex3] por [tex3]169?[/tex3]

a) [tex3]143[/tex3]
b) [tex3]149[/tex3]
c) [tex3]153[/tex3]
d) [tex3]156[/tex3]
e) [tex3]162[/tex3]

[wagner sá]

Olá ggarcia, como vai?

Façamos [tex3]a = 12\cdot 11\cdot 10\cdot \ldots\cdot 3\cdot2\cdot 1.[/tex3]

Temos que:

• [tex3]\frac{a+14}{13}=k.[/tex3]

Então [tex3]a = 13k - 14,[/tex3] sendo [tex3]k[/tex3] um número inteiro.

• [tex3]\frac{13\cdot 12\cdot 11\cdot10\cdot \ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{169} =\frac{13\cdot a}{169}=\frac{13\cdot (13k-14)}{169}=[/tex3]
  
  [tex3]\frac{169k-13\cdot (13+1)}{169}= k -1- \frac{13}{169},[/tex3]

Assim sendo, devemos subtrair [tex3]13[/tex3] de [tex3]169[/tex3] para obter o resto [tex3]156.[/tex3]

Letra (d).

Espero ter ajudado, um abraço.

[Auto Excluído (ID:276)]

Olá pessoal. Postarei minha solução, pois assim como eu, podem haver pessoas que não entenderam a solução do nosso amigo wagner. Depois, me respondam para que eu saiba se ela é válida.

1) [tex3]\frac{12! + 1}{13} = x[/tex3]

2) [tex3]\frac{ 13 \cdot 12!}{13^2}\Rightarrow \frac{12!}{13} = x - 1[/tex3]

De acordo com a primeira, o número [tex3]12![/tex3] precisa de mais uma unidade para aumentar em um no quociente; ou seja, ele teria [tex3]12 = 13 - 1[/tex3] como resto, caso não tivesse a unidade adicionada.

Assim, temos [tex3]12[/tex3] como resto na 2ª , em sua forma simplificada de [tex3]13.[/tex3]
A forma não simplificada terá um resto equivalente a [tex3]12[/tex3] .[tex3]13 = 156[/tex3]

Estaria correta? Abraços e obrigado a todos.