IME / ITA ⇒ Colégio Naval - 1988) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[ggarcia]

As medianas traçadas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo medem [tex3]\sqrt{17} \text{cm}[/tex3] e [tex3]\sqrt{23} \text{cm}.[/tex3] A medida da mediana traçada do ângulo reto é:

a) [tex3]5\sqrt{2}\text{cm}[/tex3]
b) [tex3]4\sqrt{2}\text{cm}[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{2}\text{cm}[/tex3]
d) [tex3]2\sqrt{2}\text{cm}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{2}\text{cm}[/tex3]

[italoemanuell]

Olá ggarcia.

Dado um triângulo qualquer de lados [tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c,[/tex3] as medianas são dadas por:

• [tex3]m_a=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}[/tex3]
  [tex3]m_b=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}[/tex3]
  [tex3]m_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}[/tex3]

Sabemos que [tex3]m_b=\sqrt{17}[/tex3] e [tex3]m_c=\sqrt{23}.[/tex3]

Como o triângulo é retângulo, vem:

• [tex3]m_a=\frac{1}{2}a.[/tex3]
  [tex3]m_b=\frac{1}{2}.\sqrt{2(b^2+2c^2)-b^2}=\sqrt {17}[/tex3]
  [tex3]m_c=\frac{1}{2}.\sqrt{2(2b^2+c^2)-c^2}=\sqrt {23}[/tex3]

Donde obtemos o sistema

• [tex3]\begin{cases}17=\frac{1}{4}.(b^2+4c^2)\\23=\frac{1}{4}.(4b^2+c^2) \end{cases}[/tex3]
  
  [tex3]c^2=12[/tex3] e [tex3]b^2=20.[/tex3]

Mas

• [tex3]a^2=b^2+c^2=20+12=16 \Rightarrow a=4\sqrt {2}.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]m_a=\frac{1}{2}\cdot a=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt {2}=2\sqrt {2}[/tex3]

Resposta:(d).