Ensino Médio ⇒ Sistema Linear- Escalonamento Tópico resolvido

[marguinhadorio]

Um ourives cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de outro com 3 g cada; de prata, com 5 g cada; e de bronze, com 7g cada, ao preço unitário de R$ 30,00, R$ 10,00 e R$ 5,00, respectivamente.Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas,com massa total de 87g., determine o número de medalhas de ouro confeccionadas.






gabarito: foram confeccionadas duas medalhas de ouro

[Natan]

Oi,

abaixo segue o sistema que descreve matemáticamente a situação descrita, se tiver alguma dificuldade de interpretação a sua construção da um alô que eu ajudo beleza?, lá vai:

sendo:

[tex3]x:[/tex3] número de medalhas de ouro.
[tex3]y:[/tex3] número de medalhas de prata.
[tex3]z:[/tex3] número de medalhas de bronze.

[tex3]\begin{cases} x+y+z=15 \\ 3x+5y+7z=87 \\ 30x+10y+5z=150\end{cases}[/tex3]

cuja matriz aumentada é:

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 && 1 && 1 && 15\\
3 && 5 && 7 && 87\\
30 && 10 && 5 && 150
\end{array} \right] \\ \\
\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 && 1 && 1 && 15\\
0 && 2 && 4 && 42\\
0 && -20 && -25 && 300
\end{array} \right] \\ \\
\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 && 1 && 1 && 15\\
0 && 1 && 2 && 21\\
0 && -20 && -25 && 300
\end{array} \right] \\ \\
\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 && 0 && -1 && -6\\
0 && 1 && 2 && 21\\
0 && 0 && 15 && 120
\end{array} \right] \\ \\
\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 && 0 && -1 && -6\\
0 && 1 && 2 && 21\\
0 && 0 && 1 && 8
\end{array} \right] \\\\
\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 && 0 && 0 && 2\\
0 && 1 && 0 && 5\\
0 && 0 && 1 && 8
\end{array} \right][/tex3]

voltando ao sistema teremos:

[tex3]\begin{cases} x=2 \\ y=5 \\ z=8\end{cases}[/tex3]

[jacobi]

Um ourives cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de outro com 3 g cada; de prata, com 5 g cada; e de bronze, com 7g cada, ao preço unitário de R$ 30,00, R$ 10,00 e R$ 5,00, respectivamente.Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas,com massa total de 87g., determine o número de medalhas de ouro confeccionadas.

[tex3]x + y + z = 15[/tex3]
[tex3]3x + 5y + 7z = 87[/tex3] --> [tex3](L_2 - 3.L_1)[/tex3]
[tex3]30x + 10y + 5z = 150[/tex3] --> [tex3](L_3 - 30.L_1)[/tex3]

[tex3]x + y + z = 15[/tex3]
[tex3]0x + 2y + 4z = 42[/tex3]
[tex3]0x - 20y - 25z = - 300[/tex3] --> [tex3](L_3 + 10.L_2)[/tex3]

[tex3]x + y + z = 15[/tex3]
[tex3]0x + 2y + 4z = 42[/tex3]
[tex3]0x - 0y + 15z = 120[/tex3]

Daí, [tex3]15z = 120 \ ; \ z = 8[/tex3]
[tex3]2y + 4.8 = 42 \ ; \ y = 5[/tex3]
[tex3]x + 5 + 8 = 15 \ ; \ x = 2[/tex3]