Pré-Vestibular ⇒ (Fatec-2005) Números complexos Tópico resolvido

[Natan]

Sabe-se que para todo [tex3]n\, \in\, N^{*}\, S_n=[(n^2-15n)/2]+[(n^2-23n)/2][/tex3] sendo [tex3]i[/tex3] a expressão da soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos dessa PA, a forma polar do décimo termo da progressão é:

[tex3]
\text{a)}\,\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sen\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]\\
\text{b)}\,\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)+i\sen\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right]\\
\text{c)}\,2\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sen\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]\\
\text{d)}\,2\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\sen\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right]\\
\text{e)}\,2\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)+i\sen\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right]
[/tex3]

[adrianotavares]

Olá, Natan.

Para [tex3]n=1[/tex3] teremos [tex3]S_1=a_1[/tex3]

Substituindo teremos:

[tex3]a_1=\frac{1-15.1}{2}+\left(\frac{1^2-23.1}{2}\right)i \Rightarrow a_1=-7-11i[/tex3]

Para [tex3]n=2[/tex3] teremos a soma de [tex3](a_1+a_2)[/tex3]

[tex3](a_1+a_2)=\frac{2^2-15.2}{2}+\left(\frac{2^2-23.2}{2}\right)i \Rightarrow (a_1+a_2)=-13-21i[/tex3]

[tex3]a_2=-13-21i-(-7-11i) \Rightarrow a_2=-6-10i[/tex3]

[tex3]r=a_2-a_1 \Rightarrow r=-6-10i-(-7-11i) \Rightarrow r=1+i[/tex3]

[tex3]a_{10}=a_1+9.r \Rightarrow a_1=-7-11i+9.(1+i) \Rightarrow a_{10}=2-2i[/tex3]

Calculando o módulo teremos:

[tex3]z=\sqrt{2^2+2^2} \Rightarrow z=2\sqrt{2}[/tex3]

Sendo a parte real igual a parte imaginária tem-se que [tex3]\beta=45^\circ[/tex3].

[tex3]\theta=360^\circ-45^\circ=315^\circ[/tex3] pois, o sinal da parte imaginária é negativo e teremos o cosseno positivo e o seno negativo.

[tex3]360^\circ \Rightarrow \frac{7\pi}{4}[/tex3]

Dessa forma teremos:

[tex3]2\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right][/tex3]

Alternativa:e