IME / ITA ⇒ (IME - 1954) Sistema

[ALDRINMOD]

Resolva o sistema:

[tex3]{-}\frac{1}{2}\ell x-\ell z+\frac{3}{2}\ell y=3[/tex3]
[tex3]\ell x-\ell y+\ell z=-1[/tex3]
[tex3]x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}= e[/tex3]

[fabit]

Vou supor que esse "[tex3]l[/tex3]" é logaritmo natural, ok?

[tex3]\begin{cases}\ln{x^{-\frac{1}{2}}}+\ln{z^{-1}}+\ln{y^{\frac{3}{2}}}=\ln{e^3}\\\ln{x}+\ln{y^{-1}}+\ln{z}=\ln{e^{-1}}\\x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}=e\end{cases}[/tex3]

Então [tex3]\begin{cases}\ln{\frac{\sqrt{y^3}}{z\sqrt{x}}}=\ln{e^3}\\\ln{\frac{xz}{y}}=\ln{e^{-1}}\\\sqrt{x}-\sqrt{y}=e\end{cases}[/tex3]

Tá muito cheio de raiz. Vou elevar ao quadrado um pouco.

[tex3]\begin{cases}\frac{y^3}{xz^2}=e^6\\\frac{xz}{y}=\frac{1}{e}\\\sqrt{x}-\sqrt{y}=e\end{cases}[/tex3]

Vou tentar por substituição. Elimino z (da segunda): [tex3]z=\frac{y}{ex}[/tex3]

Substituo na primeira: [tex3]y^3=e6.x.\(\frac{y}{ex}\)^2=\frac{xy^2e^6}{e^2x^2}=\frac{y^2e^4}{x}[/tex3]

Então [tex3]y=\frac{e^4}{x}[/tex3]

Vou pra terceira equação só com x: [tex3]\sqrt{x}-\sqrt{\frac{e^4}{x}}=e\Rightarrow k-\frac{e^2}{k}=e[/tex3] onde [tex3]k=\sqrt{x}[/tex3]

[tex3]k^2-e^2=ek\Rightarrow k^2-ek-e^2=0[/tex3]

[tex3]\Delta=e^2-4.1.(-e^2)=5e^2[/tex3]

[tex3]k=\frac{e\pm\sqrt{5e^2}}{2}[/tex3] Como k é uma raiz, não pode ser negativo. Logo [tex3]k=\frac{e+e\sqrt{5}}{2}=e\phi[/tex3] onde [tex3]\phi[/tex3] é o número áureo (externo, aprox. 1,618).

Portanto [tex3]x=k^2=e^2\phi^2[/tex3]; [tex3]y=\frac{e^4}{x}=\frac{e^4}{e^2\phi^2}=\frac{e^2}{\phi^2}[/tex3] e [tex3]z=\frac{y}{ex}=\frac{e^2}{\phi^2}\times\frac{1}{e^3\phi^2}=\frac{e^2}{e^3\phi^4}=\frac{1}{e\phi^4}[/tex3].

É isso aí.