Olimpíadas ⇒ (OBM/2008/FASE 2/NÍVEL 2) Geometria Plana - Área Tópico resolvido

[luiseduardo]

Seja ABC um triângulo acutângulo com BC = 5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE = CF = 4, calcule a área do triângulo ABC.

[adrianotavares]

Olá, luiseduardo.

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Alpicando Pitágoras no [tex3]\Delta CBE[/tex3] encontraremos [tex3]BE=5[/tex3].

Aplicando Pitágoras no [tex3]\Delta ABE[/tex3] teremos:

[tex3]y^2+16=4x^2[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

Como [tex3]CF[/tex3] é mediana do lado [tex3]AB[/tex3] teremos:

[tex3]5^2+(3+y)^2=2.4^2+2.\frac{(2x)^2}{4} \Rightarrow 25+9+6y+y^2=32+x^2 \Rightarrow y^2+6y+2=2x^2[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Dividindo [tex3](i)[/tex3] por [tex3]2[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{y^2}{2}+8=2x^2[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

Substituindo [tex3](iii)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]y^2+6y+2=\frac{y^2}{2}+8 \Rightarrow y^2+12y-12=0[/tex3]

Resolvendo essa equação do 2ºgrau encontraremos:

[tex3]y=4\sqrt{3}-6[/tex3]

Logo, a área do [tex3]\Delta {ABC}[/tex3] será :

[tex3]A=\frac{AC.EB}{2} \Rightarrow A=\frac{(3+4\sqrt{3}-6).4}{2} \Rightarrow A=8\sqrt{3}-6[/tex3]

Observação:

[tex3]5^2+(3+y)^2=2.4^2+2.\frac{(2x)^2}{4}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow[/tex3] corresponde a fórmula para o cálculo do comprimento da mediana de um triângulo.