IME / ITA ⇒ (ITA-1991) numeros complexos

[jreis]

Se Z= cost+isent, onde 0<t<360º , então podemos afiramar que w=[tex3]\frac{1+Z}{1-Z}[/tex3] é dado por:
a) i cotgt/2
b) i tgt/2
c) i cotg t
d) i tg t
e) n.d.a

desde já agradeço.

[fabit]

Vou chamar [tex3]C=\cos t[/tex3] e [tex3]S=\sin t[/tex3].

[tex3]\frac{1+Z}{1-Z}=\frac{1+C+iS}{1-C-iS}=\frac{(1+C+iS)(1-C+iS)}{(1-C-iS)(1-C+iS)}=\frac{1+2iS-S^2-C^2}{1-2C+C^2+S^2}=...[/tex3]

[tex3]...=\frac{2iS}{2-2C}=i\frac{S}{1-C}[/tex3]

Já botei o i na frente, mas não dá pra saber a alternativa certa ainda (só "c" e "d" já dançaram por causa desse "1-" no denominador). Vou eliminar S=TC onde [tex3]T=\tan t[/tex3] pra ver no que dá.

[tex3]...=i\frac{TC}{1-C}=i\frac{T}{\frac{1}{C}-1}=i\frac{T}{sec-1}[/tex3] onde [tex3]sec^2=1+T^2\Rightarrow sec=\sqrt{1+T^2}[/tex3].

[tex3]...=i\frac{T}{\sqrt{1+T^2}-1}[/tex3]

Para comparar com as fórmulas de arco-metade, que eu jamais decorarei, vou ver...

[tex3]T=\frac{2\tan(\frac{t}{2})}{1-\tan^2(\frac{t}{2})}\Rightarrow(1-x^2)T=2x[/tex3]

Então [tex3]Tx^2+2x-T=0\Rightarrow x=\frac{-\cancel{2}\pm\sqrt{\cancel{4}+\cancel{4}T^2}}{\cancel{2}T}[/tex3]

[tex3]x=\frac{\sqrt{1+T^2}-1}{T}[/tex3] Isso é justamente o inverso (sem o i) do que estávamos achando para [tex3]\frac{1+Z}{1-Z}[/tex3]

Então [tex3]...=i\times\frac{1}{x}=i.cotg(\frac{t}{2})[/tex3] Letra A.