Pré-Vestibular ⇒ (ESPM) Função Quadrática: Máximos e Mínimos Tópico resolvido

[brain_tnt]

Em um terreno de formato triangular, deseja-se construir uma casa com formato retangular. Determine [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] de modo que a área construída seja máxima.

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a) [tex3]x=2,5 \text{ e } y=7,5[/tex3]
b) [tex3]x=3 \text{ e } y=9[/tex3]
c) [tex3]x=4,5 \text{ e } y=10,5[/tex3]
d) [tex3]x=5 \text{ e } y =15[/tex3]
e) n.d.a.

[marco_sx]

Fala brain_tnt

Pela tangente do ângulo da base temos:

• [tex3]\frac{15}{2,5}=\frac{15-y}{0,5\cdot x} \Rightarrow y=15-3x[/tex3]

• [tex3]S=x\cdot (15-3x)=-3x^2+15x[/tex3]

[tex3]S_{m\acute{a}x} \Rightarrow x=-\frac{15}{2\cdot(-3)} \Rightarrow x=2,5\text{m}[/tex3]

• [tex3]y=15-3\cdot 2,5 \Rightarrow y=7,5\text{m}[/tex3]

Por outro lado,

• [tex3]S=-3x^2+15x[/tex3]

• [tex3]S=-3\cdot(x^2-5x)[/tex3]

• [tex3]S=-3\cdot \left[(x-2,5)^2-\frac{25}{4}\right][/tex3]

• [tex3]S=\frac{75}{4}-3\cdot \left(x-2,5\right)^2[/tex3]

A área é máxima quando [tex3]3\cdot (x-2,5)^2[/tex3] for mínimo. Logo, [tex3]x=2,5\text{m}[/tex3] e a área máxima é [tex3]18,75\text{m}^2[/tex3].

[orochi]

Estou com dúvidas na mesma questão, mas não consegui entender a resolução do amigo marco_sx.
Se alguém puder esclarecer... Muito obrigado!

[aleixoreis]

Vou mostrar como resolvi a questão.
Existe a seguinte relação:[tex3]\frac{x}{b}=\frac{h-y}{h}[/tex3], em que b é a base do triângulo e h a altura.
Então: [tex3]\frac{x}{5}=\frac{15-y}{15}\rightarrow y=15-3x[/tex3]......(I)

Área do retângulo [tex3]A=xy\rightarrow A(x)=x(15-3x)\rightarrow A(x)=-3x^2+15[/tex3]

O ponto máximo de A [tex3]=-\frac{b}{2a}=\frac{15}{6}=2,5[/tex3]

Substituindo em (I): y=7,5

[]'s.

[orochi]

Ah, agora entendi! Eu não estava enxergando o triângulo pequeno ali em cima. Obrigado aleixoreis!