Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 1987) Trigonometria

[ALDRINMOD]

A função [tex3]f(x)=-cos(2x-\pi)[/tex3] é periódica de período [tex3]\pi[/tex3] ?

[fabit]

Sim. Na forma geral [tex3]f(x)=k\cos\(a(x+\phi)\)+c[/tex3], o período é [tex3]\frac{2\pi}{a}[/tex3].

No caso, [tex3]\frac{2\pi}{2}=\pi[/tex3].

[Natan]

Poderia demosntrar que isso é verdade?

[fabit]

Acho que é assim:

Dado como conhecido o período do cosseno puro, como [tex3]2\pi[/tex3], ou seja,

[tex3]\cos(\theta+2\pi)=\cos(\theta),\forall\theta[/tex3], faz-se a preparação [tex3]g(x)=\frac{f(x)-c}{k}=\cos\(a(x+\phi)\)[/tex3]

e iguala-se [tex3]g(x+T)=g(x),\forall x[/tex3], no intuito de encontrar T.

[tex3]\cos\(a(x+T+\phi)\)=\cos\(a(x+\phi)\)[/tex3]

Se T é o menor possível, então do outro lado o menor ângulo a ser somado sem gerar diferença no resultado é [tex3]2\pi[/tex3]

[tex3]\cos\(aT+a(x+\phi)\)=\cos\(2\pi+a(x+\phi)\)[/tex3]

Então [tex3]aT=2\pi[/tex3] e portanto [tex3]T=\frac{2\pi}{a}[/tex3]

[Natan]

Valeu fabit!

[ViniciusHarlock]

Eu faço assim:

Dado uma função genérica representada por [tex3]f(x)=a=b.sen(c.x+d)[/tex3] façamos [tex3]cx+d=t[/tex3]. Quando [tex3]x[/tex3] percorre [tex3]R[/tex3], [tex3]t[/tex3] percorre [tex3]R[/tex3] (pois a função afim [tex3]t=ax+b[/tex3] é sobrejetora) e, em consequência, [tex3]sen(t)[/tex3] percorre o intervalo [tex3][-1, 1][/tex3], [tex3]b.sen(t)[/tex3] percorre o intervalo [tex3][-b, b][/tex3] e [tex3]y=a+b.sen(t)[/tex3] percorre o intervalo [tex3][a-b, a+b][/tex3], que é a imagem de [tex3]f[/tex3].
Para que [tex3]f[/tex3] complete um período é necessário que [tex3]t[/tex3] varie de [tex3]0[/tex3] a [tex3]2\pi[/tex3], então:

[tex3]t=0 \Longrightarrow cx+d=0 \Longrightarrow x=-\frac{d}{c}[/tex3]
[tex3]t=2\pi \Longrightarrow cx+d=2\pi \Longrightarrow x=\frac{2\pi}{c}-\frac{d}{c}[/tex3]

portanto:

[tex3]p=\Delta x=\left( \frac{2\pi}{c}-\frac{d}{c}\right)-\left( -\frac{d}{c} \right)=\frac{2\pi}{c}[/tex3]