Ensino Médio ⇒ Figuras Geometricas

[Brunoplay]

Sabendo-se que o triângulo ABC ,abaixo ,é equilatero de lado 1 cm e que a ponta A,D e E são colineares .onde D é o centro dp círculo inscrito neste triângulo ,a área da figura hachurada em cm^2,é

[Deekah]

Oi :­)
Exercício NADA simpático que usa um conhecimento de propriedades que nem todo mundo aprende, mas beleza.Quando ele diz que A, D e E são colineares, deve-se lembrar de outra propriedade do triangulo equilatero: que o ortocentro, o baricentro e o circuncentro também serão colineares - ou seja, estão na mesma reta. Nesse caso, não só estão na mesma reta, como coincidem. OK, pra que serve isso? Pra dizer que o ponto E é o ponto médio entre a reta BC. Há quem arrisque ir pelo 'olho', mas o desenho nunca é confiável.
Vamos as contas:

- Como o triangulo interno é formado pelos pontos médios do triangulo equilatero, ele também será equilatero e, por consequencia, terá a metade do tamanho: [tex3]\frac {1}{2}[/tex3] cm.
- Usando as relações métricas:

• a partir do lado do triangulo interno, nós podemos achar o raio do círculo usando a seguinte fórmula:

[tex3]l_3= R\sqrt3[/tex3] ~> [tex3]\frac {1}{2}= R\sqrt3[/tex3] ~> [tex3]R=\frac {\frac {1}{2}}{\sqrt3}[/tex3] ~> [tex3]\frac {\sqrt3}{2}[/tex3]

Logo, a área do cículo é:

[tex3]A= \pi R^2[/tex3] ~> [tex3]A= \pi {\frac {\sqrt3}{2}}^2[/tex3] ~> [tex3]A=\pi \frac {{\sqrt3}^2}{4}[/tex3] ~> [tex3]A=\frac{3\pi}{4}[/tex3]

• quanto ao triangulo interno, deve-se calcular a área:

[tex3]A_3=\frac {l^2\sqrt3}{4}[/tex3] ~> [tex3]A_3=\frac {\frac{1}{2}^2\sqrt3}{4}[/tex3] ~> [tex3]A_3=\frac{\frac{\sqrt3}{4}}{4}[/tex3] ~> [tex3]A_3=\sqrt3[/tex3]

• agora basta tirar a área do triangulo interno da área do circulo, para descobrir a parte hachurada:

[tex3]A_{hachurada}=A_{circulo} - A_{triangulo}[/tex3] -> [tex3]A_{hachurada}=A=\frac{3\pi}{4} -\sqrt3cm^2[/tex3]


Eu revi os calculos, para ver se tinha algo errado, e pelo menos eu não vi.
O conceito é esse, só dê uma olhada para ver se fiz as contas certinho (sabe, SEMPRE tem um detalhe que passa despercebido). Não consegui achar nenhum jeito diferente de deixar a resposta, então ficou assim mesmo.

ESPERO que esteja tudo ok!
Beijo ;*