IME / ITA ⇒ (Escola Naval CPAPCM - 2007) Matrizes

[ALDRINMOD]

Coloque [tex3]F[/tex3] (falso) ou [tex3]V[/tex3] (verdadeiro) nas afirmativas abaixo, assinalando, a seguir, a opção correta.

[tex3](\ )[/tex3] Se [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são matrizes simétricas, então [tex3]AB[/tex3] também é simétrica.
[tex3]( \ )[/tex3] Se [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são matrizes [tex3]n \time n[/tex3], então [tex3]A^2-B^2=(A-B)(A+B)[/tex3].
[tex3]( \ )[/tex3] Se [tex3]A[/tex3] é uma matriz [tex3]n \time n[/tex3], e sua transposta é uma matriz inversível, então a matriz [tex3]A[/tex3] é inversível.
[tex3](\ )[/tex3] Se [tex3]A[/tex3] é uma matriz quadrada, e [tex3]A^2=0[/tex3], então [tex3]A=0[/tex3].

(A) [tex3](V) \ (F)\ (V)\ (F)[/tex3].
(B) [tex3](F)\ (F)\ (V)\ (F)[/tex3].
(C) [tex3](V)\ (V)\ (F)\ (F)[/tex3].
(D) [tex3](V)\ (V)\ (F)\ (V)[/tex3].
(E) [tex3](F)\ (V) \ (F)\ (V)[/tex3].

[Auto Excluído (ID:3002)]

[tex3]( F )[/tex3] Se [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são matrizes simétricas, então [tex3]AB[/tex3] também é simétrica.

Pois, por exemplo se
[tex3]A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right)[/tex3] e [tex3]B= \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)[/tex3]
temos
[tex3]AB=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 4 & 2 \end{array} \right)[/tex3]
que não é uma matriz simétrica.

[tex3]( F )[/tex3] Se [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são matrizes [tex3]n \time n[/tex3], então [tex3]A^2-B^2=(A-B)(A+B)[/tex3].

Pois, por exemplo se
[tex3]A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right)[/tex3] e [tex3]B= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right)[/tex3]
temos
[tex3]A^2= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{array} \right)[/tex3]
[tex3]B^2= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)[/tex3]
[tex3]A^2-B^2=\left( \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} \right)[/tex3]
Agora por outro lado temos:
[tex3]A-B= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{array} \right)[/tex3]
[tex3]A+B= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right)[/tex3]
[tex3](A-B)(A+B)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right)[/tex3]
o que se pode concluir que [tex3]A^2-B^2 \neq (A-B)(A+B)[/tex3]

[tex3]( V )[/tex3] Se [tex3]A[/tex3] é uma matriz [tex3]n \time n[/tex3], e sua transposta é uma matriz inversível, então a matriz [tex3]A[/tex3] é inversível.

Pois, como por hipótese temos que se a transposta da matriz [tex3]A[/tex3] é uma matriz inversível então det [tex3](A^t) \neq 0[/tex3]. Agora como det [tex3](A)=[/tex3] det [tex3](A^t)[/tex3] segue que det [tex3](A) \neq 0[/tex3], ou seja, [tex3]A[/tex3] é uma matriz inversível.

[tex3]( F )[/tex3] Se [tex3]A[/tex3] é uma matriz quadrada, e [tex3]A^2=0[/tex3], então [tex3]A=0[/tex3].

Pois, por exemplo se
[tex3]A=\left( \begin{array}{cc} -1 & -3 \\ 1/3 & 1 \end{array} \right)[/tex3]
temos
[tex3]A^2=\left( \begin{array}{cc} -1 & -3 \\ 1/3 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} -1 & -3 \\ 1/3 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)[/tex3]
ou seja [tex3]A^2=0[/tex3] mas [tex3]A[/tex3] não é uma matriz nula.

Resposta: (B) [tex3](F)\ (F)\ (V)\ (F)[/tex3].