IME / ITA ⇒ (CMPA - 2008) Perímetro

[Flavio2008]

Um pentágono [tex3]ABCDE[/tex3] inscrito numa circuferência,a soma das medidas de todas as diagonais e igual e [tex3]50\text{ cm}[/tex3]. Os pontos médios [tex3]M[/tex3], [tex3]N[/tex3], [tex3]O[/tex3], [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são os pontos médios de cada um dos lados do pentágono,podemos a firmar que o perímetro do polígono [tex3]M[/tex3], [tex3]N[/tex3], [tex3]O[/tex3], [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3], em [tex3]cm[/tex3], é igual a :

a) [tex3]10[/tex3]
b) [tex3]15[/tex3]
c) [tex3]20[/tex3]
d) [tex3]25[/tex3]
e) [tex3]30[/tex3]

[agp16]

Olá Flavio2008,

Bom Dia.
No texto foi informado que o perímeto da soma das diagonais é [tex3]2p'=50cm[/tex3], como as diagonais são iguais concluímos que cada uma valerá [tex3]10 cm[/tex3].
Vamos resolver a questão por semelhança de triângulos, vejamos o desenho:

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O triângulo [tex3]\Delta_{ABC}[/tex3] é semalhante ao [tex3]\Delta_{NBM}[/tex3], logo:
[tex3]\frac{BM}{BC}=\frac{NM}{AC}[/tex3], substituindo
[tex3]\frac{\frac{BC}{2}}{BC}=\frac{NM}{10}[/tex3]
[tex3]2.NM=10[/tex3]
[tex3]NM=5[/tex3]
O perímetro do polígono M,N,O,P e Q , em cm , é igual a :[tex3]5.5=25cm[/tex3]