IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2010) Geometria Analítica

[ALDRINMOD]

Um triângulo retângulo está inscrito no círculo [tex3]x^2+y^2-6x+2y-15=0[/tex3] e possui dois vértices sobre a reta [tex3]7x+y+5=0[/tex3]. O terceiro vértice que está situado na reta de equação [tex3]{-}2x+y+9=0[/tex3] é

(A) [tex3](7\text{, }4)[/tex3].
(B) [tex3](6\text{, }3)[/tex3].
(C) [tex3](7\text{, }-4)[/tex3].
(D) [tex3](6\text{, }-4)[/tex3].
(E) [tex3](7\text{, }-3)[/tex3].

[Thadeu]

Como o triângulo possui 2 vértices sobre a reta [tex3]7x+y+5=0[/tex3], essa reta possui 2 pontos em comum com a circunferência, logo:
[tex3]\{x^2+y^2-6x+2y-15=0\\7x+y+5=0 \Rightarrow\,\{x^2+y^2-6x+2y-15=0\\y=-5-7x[/tex3]

Substituindo na 1ª equação

[tex3]x^2+(-5-7x)^2-6x+2(-5-7x)-15=0\,\Rightarrow\,x^2+x=0\,\Rightarrow\,x=0\,\,\,ou\,\,\,x=-1[/tex3]
[tex3]x=0\,\Rightarrow\, y=-5\\x=-1\,\Rightarrow\,y=2[/tex3]

A outra reta, [tex3]{-2x+y+9=0}[/tex3], também tem um ponto em comum com a circunferência, então:
[tex3]\{x^2+y^2-6x+2y-15=0\\-2x+y+9=0 \Rightarrow\,\{x^2+y^2-6x+2y-15=0\\y=-9+2x[/tex3]

Substituindo na 1ª equação teremos:
[tex3]x^2+(-9+2x)^2-6x+2(-9+2x)-15=0\,\Rightarrow\,5x^2-38x+48=0\,\Rightarrow\,x=6\,\,\,ou\,\,\,x=\frac{8}{5}[/tex3]
[tex3]x=6\,\Rightarrow\,y=3\\x=\frac{8}{5}\,\Rightarrow\,y=-\frac{29}{5}[/tex3]

Resp [tex3](6\,,\,3)[/tex3], letra B