Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: PFC e Funções Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Dado o conjunto [tex3]X = \{ a,b,c,d\}[/tex3] o número possível de funções distintas [tex3]f[/tex3] definidas de [tex3]X[/tex3] em [tex3]X[/tex3] e tais que a equação [tex3]f(x) = X[/tex3] tem exatamente uma solução é:

a) 64
b) 81
c) 108
d ) 256
e) 243

[Dexter]

Ola Jose,

Não se assuste com o tamanho da resolução, já que em [tex3]70\%[/tex3] das linhas abordo a teoria envolvida no assunto de funções!

Vou tentar ser o mais claro possível, começando com:

Relação de [tex3]A[/tex3] em [tex3]B=[/tex3] um conjunto de pares ordenados [tex3](x,y),[/tex3] onde [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]y\in B[/tex3]

Uma função tb é uma relação de [tex3]A[/tex3] em [tex3]B,[/tex3] mas nesse caso para cada [tex3]x[/tex3] devemos ter associado um único [tex3]y[/tex3]...aqui vc não encontrará, por exemplo, a relação [tex3]\{(2,1),(2,3)\},[/tex3] entende!?

No enunciado é dito que [tex3]f(x)=x[/tex3] tem apenas uma solução, logo vc não poderá encontrar, por exemplo, a relação [tex3]\{(a,a),(b,b),(c,d),(d,c)\},[/tex3] já que [tex3]f(x) = x[/tex3] deve ter apenas uma única solução e ali no conjunto temos duas [tex3](a,a)[/tex3] e [tex3](b,b),[/tex3] note que me preocupei em montar os pares ordenados d tal forma que eu satisfizesse a condição de função "a cada elemento do primeiro conjunto temos associado um único elemento do segundo conjunto"

O que devemos fazer para sanar o problema então?

Vamos montar os conjutos por etapas!

1ª etapa: amarrar a única solução
2ª etapa: prever os conjuntos possiveis formados com os elementos que sobraram

Ex: Amarram que [tex3](a,a)[/tex3] para [tex3]b[/tex3] teremos três caminhos:

[tex3]b[/tex3] ligado ao [tex3]a[/tex3]
[tex3]b[/tex3] ligado ao [tex3]c[/tex3]
[tex3]b[/tex3] ligado ao [tex3]d[/tex3]

[tex3]3[/tex3] possibilidades

Por analogia para [tex3]c[/tex3] teremos mais [tex3]3[/tex3] possibilidades e para [tex3]d[/tex3] mais [tex3]3[/tex3] três possibilidades...

Usando o principio fundamental da contagem teremos que:

Como podemos amarrar [tex3]a, b, c[/tex3] ou [tex3]d[/tex3] teremos [tex3]4.3.3.3=108[/tex3] possibilidades

Ou seja, primeira atitude é amarrar a condição do problema, que é fazer ou [tex3](a,a)[/tex3] ou [tex3](b,b)[/tex3] ou [tex3](c,c)[/tex3] ou [tex3](d,d)[/tex3] e para isso temos [tex3]4[/tex3] possibilidades, a partir do momento que fzmos se tivermos pego [tex3](c,c)[/tex3] não poderá aparecer [tex3](a,a)[/tex3] ou [tex3](b,b)[/tex3] ou [tex3](d,d),[/tex3] então para cada letra podemos escolher de [tex3]4[/tex3] apenas [tex3]3[/tex3] letras ou seja, teremos [tex3]3[/tex3] possibilidades e por isso [tex3]4.3.3.3 =108.[/tex3]