Ensino Médio ⇒ Função do segundo grau Tópico resolvido

[MarcelaZap]

Seja [tex3]f(x) = x^2 - 3x + 4[/tex3]. Quantas soluções reais têm a equação [tex3]f(f(f(...f(x))))=2[/tex3] (onde [tex3]f[/tex3] é aplicada [tex3]2004[/tex3] vezes)?

[petrasMOD]

Considerando a função f(x) = x² – 3x + 4, observemos que:

1) não existe a ∈ R, tal que f(a) = 1, pois f(a) = 1 ⇔ ⇔ a² – 3a + 4 = 1 ⇔ a² – 3a + 3 = 0 ⇔
Não existe a ∈ R.

2) se b ∈ R, tal que f(b) = 2, então b = 1 ou b = 2, pois b² – 3b + 4 = 2 ⇔ b² – 3b + 2 = 0 ⇔ b = 1 ou b = 2. Assim sendo,

• f(f(f(…f(x)))) = 2, na qual f é aplicada 2004 vezes ⇒ ⇒ f(f(…f(x))) = 1 ou f(f(…f(x))) = 2, na qual f é aplicada 2003 vezes, porém, pelo exposto no item 1, f(f(…f(x))) = 1 não serve.
• f(f(…f(x))) = 2, na qual f é aplicada 2003 vezes ⇒ ⇒ f(…f(x)) = 1 ou f(…f(x)) = 2, na qual f é aplicada 2002 vezes, porém, pelo exposto no item 1, f(…f(x)) = 1 não serve.
• Repetindo esse processo sucessivamente, obtém-se f(x) = 2 ⇔ x² – 3x + 4 = 2 ⇔ x² – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ou x = 2.

Portanto, a equação tem duas soluções.
(Solução:Objetivo-adaptada)