Ensino Médio ⇒ Geometria plana: triângulo circunscrito Tópico resolvido

[edificadora]

O raio de correspondência inscrito no triângulo retângulo da figura é igual a:

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  imagem.questão.JPG (3.59 KiB) Exibido 31450 vezes

a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 4.

[paulo testoniMOD]

Hola edificadora.

Vamos usar a Fórmula de Heron para achar a área.

2p = 14 + 25 + 25
p = 60/2
p = 30 ==> semi-peímetro

[tex3]S =\sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}[/tex3]
[tex3]S =\sqrt{30*(30-20)*(30-15)*(30-25)}[/tex3]
[tex3]S =\sqrt{22500}[/tex3]
[tex3]S = 150[/tex3] (i)

Vamos achar a área em função do raio: una o centro O com cada ponto de tangência da circunferência com o triângulo, assim vc tem 3 raios iguais. Agora una o centro O com cada vértice do triângulo vc forma três triângulos semelhantes.

Vamos calcular a soma das áreas dos três triângulos.

[tex3]S = \frac{15*r}{2} + \frac{25*r}{2} + \frac{20*r}{2}[/tex3]
[tex3]S = \frac{15*r+25*r+20*r}{2}[/tex3]
[tex3]S = \frac{60*r}{2}[/tex3]
[tex3]S=30*r[/tex3] (ii)

fazendo; (ii) = (i), temos:

[tex3]30*r = 150[/tex3]
[tex3]r = \frac{150}{30}[/tex3]
[tex3]r = 5[/tex3]

[edificadora]

Olá, paulo testoni!

Entendi sua explicação mas, gostaria de compreender melhor. Será que você poderia postar uma figura demonstando o que você fez: uniu o centro O com cada ponto de tangência da circunferência com o triângulo, formando 3 raios iguais.

Muito obrigada pela resposta paulo testoni.
Abraço!

[adrianotavares]

Olá, edificadora.

[tex3]A=p.r[/tex3]

[tex3]p[/tex3]--> semiperímetro

[tex3]p=\frac{15+20+25}{2} \Rightarrow p=30[/tex3]

Sendo o triângulo retângulo teremos:

[tex3]\frac{15.20}{2}=30r \Rightarrow 150=30r \Rightarrow r=5[/tex3]

Alternativa:a

Triângulo Retângulo ABC.GIF (3.36 KiB) Exibido 31437 vezes

A área total é igual a soma das área dos triângulos [tex3]OAB[/tex3], [tex3]OAC[/tex3] e [tex3]OBC[/tex3].

[tex3]A= \frac{x.r}{2}+\frac{y.r}{2}+\frac{zr}{2} \Rightarrow A=r.\left(\frac{x+y+z}{2}\right)[/tex3]

Sendo [tex3]p=\left(\frac{x+y+z}{2}\right)[/tex3] tem-se que [tex3]A=p.r[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola Adriano.

Agradeço a excelente explicação dada a edificadora.

[edificadora]

Eu que agradeço a vocês dois.
Muito obrigada pelas explicações!!

[paulo testoniMOD]

Hola Edificadora.

Estava lendo um assunto de geometria aí me lembrei do seu problema, veja:

Num triângulo retângulo ABC, o raio r do círculo inscrito no triângulo é igual a metade da soma dos catetos menos a hipotenusa, ou seja:

[tex3]r= \frac{b + c - a}{2}[/tex3]

[tex3]r = \frac{15 + 20 - 25}{2}[/tex3]

[tex3]r = \frac{35 - 25}{2}[/tex3]

[tex3]r = \frac{10}{2}[/tex3]

[tex3]r= 5[/tex3]

[edificadora]

Legal!! É bom saber da relação resumida.
Mas eu ainda acho que raciocinando fica melhor do que gravar alguma fórmula, não é mesmo!?

Grande abraço!
Obrigada!