IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1987) Álgebra

[ALDRINMOD]

Duas estações [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3], que distam entre si [tex3]6\text{ km}[/tex3], estão ligadas por uma estrada de ferro de linha dupla. De cada uma das estações partem trens de [tex3]3[/tex3] em [tex3]3[/tex3] minutos. Os trens trafegam uniformemente com velocidades iguais. Um pedestre percorre, com velocidade constante, a estrada. No momento em que ele passa por [tex3]A[/tex3], vê um trem que parte para [tex3]B[/tex3] e outro que chega de [tex3]B[/tex3]. No momento em que o pedestre passa por [tex3]B[/tex3], vê um trem que parte de [tex3]A[/tex3] e outro que chega de [tex3]A[/tex3]. Contando com esses quatro trens com os quais se encontrou nas duas estações, o pedestre passou por [tex3]29[/tex3] trens que seguiram no mesmo sentido que ele e por [tex3]33[/tex3] que iam em sentido contrário. A velocidade dos trens, em [tex3]km/h[/tex3], era:

(A) [tex3]60[/tex3].
(B)[tex3]70[/tex3].
(C) [tex3]80[/tex3].
(D) [tex3]90[/tex3].
(E) [tex3]100[/tex3].

Resposta

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A

[fabit]

A distãncia que separa um trem do seu consecutivo é 3V, onde V é a velocidade de todos os trens.

Fiz um desenho de "trens virtuais" que passeiam na reta suporte do segmento AB (o enunciado nem sequer fala que o trilho é retilíneo, mas não faz mal). Tenho dificuldade em anexar figuras aqui no trabalho. Se quiserem, mando a figura depois, mas a receita é assim:

Representei por bolinhas cheias os trens que vão de B para A, sendo a primeira bolinha em cima de A e a 33ª (não desenhei todas) no prolongamento de AB, no sentido de B. Entre 33 pontos existem 32 espaços e portanto de A até o 33º trem a distância é de [tex3]32\times3V=96V[/tex3]. Logo, a distãncia de B até esse trem é [tex3]96V-6[/tex3].

Analogamente, representei por bolinhas vazias os trens que vão de A para B, sendo a primeira bolinha em cima de A e a 29ª no prolongamento de AB, no sentido de A. São 28 espaços e portanto de A até o 29º trem a distância é de [tex3]28\times3V=84V[/tex3]. Então desse trem até B percorre-se [tex3]84V+6[/tex3].

Seja T o tempo total do processo em que o pedestre faz 6 km. Nesse mesmo tempo, o 33º trem cheio fez 96V-6 e o 29º vazio fez 84V+6:
[tex3]\begin{cases}\frac{96V-6}{T}=V\\\frac{84V+6}{T}=V\end{cases}[/tex3]

Então [tex3]96V-6=84V+6[/tex3]

[tex3]96V-84V=6+6[/tex3]

[tex3]12V=12[/tex3]

[tex3]V=1[/tex3] (isso está em km/min)

Em km/h, V=60. Letra A.