IME / ITA ⇒ (IME/CG - 2007) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Determine o valor de [tex3]K[/tex3] para que as raízes da equação do segundo grau [tex3](K-5)x^2-4Kx+K-2=0[/tex3] sejam o seno e co-seno de um mesmo arco.

Resposta

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Obs.: não tenho o gabarito.

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Primeiro de tudo, sabemos que seno e co-seno são funções reais. Ou seja, a equação do segundo grau deve possuir raízes reais.

Para isso, seu discriminante deve ser maior ou igual a zero:

[tex3]\Delta=(-4K)^2-4(K-5)(K-2)\ge 0[/tex3]

[tex3]12K^2+28K-40\ge 0[/tex3]

[tex3]3K^2+7K-10\ge 0[/tex3]

Resolvendo esta inequação, chegamos no intervalo:

[tex3]\boxed{K\le{-}\frac{10}{3}\text{ ou }K\ge 1}[/tex3]

Guardamos esta restrição para o final. Agora vamos resolver a questão em si.

Sejam as raízes da equação [tex3]x'=\sin(\alpha)[/tex3] e [tex3]x''=\cos(\alpha)[/tex3] utilizarei as fórmulas da soma e produto das raízes:

[tex3]soma=-\frac{-4K}{k-5}=\sin(\alpha)+\cos(\alpha)[/tex3]

[tex3]produto=\frac{K-2}{k-5}=\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)[/tex3]

Agora elevamos a primeira equação ao quadrado:

[tex3]\(-\frac{-4K}{k-5}\)^2=\(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)\)^2[/tex3]

[tex3]\frac{16K^2}{(k-5)^2}=\sin^2(\alpha)+2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos^2(\alpha)[/tex3]

Sabemos que [tex3]\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1[/tex3] e [tex3]\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)=\frac{K-2}{k-5}[/tex3]. Portanto:

[tex3]\frac{16K^2}{(k-5)^2}=1+2\frac{K-2}{k-5}[/tex3]

Resolvendo as "continhas" nessa equação, acabamos com:

[tex3]13K^2+24K-45=0[/tex3]

Resolvendo, por Báscara, chegaremos em:

[tex3]K'=-3[/tex3] e [tex3]K''=\frac{15}{13}[/tex3]

Note que, de acordo com a restrição inicial, o único valor que serve é [tex3]K=\frac{15}{13}[/tex3]