IME / ITA ⇒ (IME-2004) Teoria dos números Tópico resolvido

[jreis]

Demonstre que o número 11....1222....25 é um quadrado perfeito, onde o algarismo 1 aparece n-1 vezes e o algarismo 2 aparece n vezes.

Desde já agradeço.
Jreis

[fabit]

Os valores relativos dos algarismos, lidos da direita para a esquerda, é:

[tex3]5+2\cdot 10^1+2\cdot 10^2+\cdots+2\cdot 10^n+1\cdot 10^{n+(1)}+1\cdot 10^{n+(2)}+\cdots+1\cdot 10^{n+(n-1)}=...[/tex3]

Duas PGs de razão 10, uma com n termos e outra com n-1:
[tex3]...=5+2\(\frac{10(10^n-1)}{10-1}\)+\frac{10^{(n+1)}(10^{(n-1)}-1)}{10-1}=...[/tex3]

[tex3]...=5+\frac{2(10^{(n+1)}-10)}{9}+\frac{10^{2n}-10^{(n+1)}}{9}=...[/tex3]

[tex3]...=\frac{45+2\cdot 10^{(n+1)}-20+10^{2n}-10^{(n+1)}}{9}=\frac{10^{2n}+10^{(n+1)}+25}{9}=...[/tex3]

Desmebrando o termo do meio ([tex3]10^{(n+1)}=10\cdot 10^n=2\cdot 5\cdot 10^n[/tex3]), ele fica sendo o "dobro do primeiro pelo segundo"
[tex3]...=\frac{\(10^n\)^2+2\cdot 10^n\cdot 5+5^2}{9}[/tex3]

Bingo! de fato, o número é igual a [tex3]\(\frac{10^n+5}{3}\)^2[/tex3]

Falta provar que essa divisão por 3 dá sempre exata:
10=9+1
5=6-1
Substituindo (sem o quadrado): [tex3]\frac{10^n+5}{3}=\frac{(9+1)^n+6-1}{3}[/tex3]

Desenvolvendo o binômio: [tex3]\frac{10^n+5}{3}=\frac{9^n\cdot 1^0+n\cdot 9^{(n-1)}\cdot 1^1+\cdots+n\cdot 9^1\cdot 1^{(n-1)}+\cancel{9^0\cdot 1^n}+6\cancel{-1}}{3}[/tex3]

Todos os termos que sobraram no numerador são múltiplos de 3.
CQD

[jreis]

Obrigado pela resolução da questão.

Jreis

[lecko]

Muito bom mesmo..
gostei muito da questão...