Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ - 1958) Equação

[ALDRINMOD]

Resolva a equação [tex3]\sqrt{a^2+x}+\sqrt{b^2+x}=a+b[/tex3].

[triplebig]

A intuição está gritando que a única solução é [tex3]x=0[/tex3] mas vamos lá provar isto.

Elevando ambos os membros ao quadrado:

[tex3]a^2+b^2+2x-a-b=2\sqrt{(a^2+x)(b^2+x)}[/tex3]

Fazendo a substituição [tex3]a^2-a+x=p[/tex3] e [tex3]b^2-b+x=q[/tex3] e elevando ambos os lados ao quadrado:

[tex3](p+q)^2=4(a^2+x)(b^2+x)\\
p^2+2pq+q^2=4(a^2b^2+a^2x+b^2x+x^2)\\
(a^2-a+x)^2+2(a^2-a+x)(b^2-b+x)+(b^2-b+x)^2=4a^2b^2+4a^2x+4b^2x+4x^2[/tex3]

Eticétera. Vou pensar se tem um jeito menos braçal de resolver está equação , pois creio que vai aparecer uma equação nojenta de quarto grau.

[Thadeu]

Aldrin, estava procurando alguns exercícios para colocar em provas e encontrei esse aqui; o Triplebig se enroscou todo...
Mas ele pensou corretamente:

[tex3](\sqrt{a^2+x}+\sqrt{b^2+x})^2=(a+b)^2\\a^2+x+2\sqrt{(a^2+x)(b^2+x)}+b^2+x=a^2+2ab+b^2\\2x+2\sqrt{(a^2+x)(b^2+x)}=2ab\\\(\sqrt{(a^2+x)(b^2+x)}\)^2=(ab-x)^2\\a^2x+b^2x+a^2b^2+x^2=a^2b^2-2abx+x^2\\a^2x+b^2x+2abx=0\\(a+b)^2x=0\\x=0[/tex3]

Resposta bem atrasada.

Um abraço!!!