IME / ITA ⇒ (EEAR - 2002) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Dadas a reta de equação [tex3]y=\frac{\sqrt3}{3}x[/tex3] e a circunferência de equação [tex3]x^2+y^2-4x=0[/tex3]. A área do triângulo determinado pelo centro da circunferência e os pontos de intersecção entre a reta e ela, em unidades de área, é igual a

a) [tex3]\sqrt3[/tex3].
b) [tex3]3[/tex3].
c) [tex3]3\sqrt3[/tex3].
d) [tex3]6[/tex3].

[DouglasM]

Boa tarde Aldrin, eis aqui a resolução da questão:

Primeiramente vamos organizar a equação da circunferência, para determinar seu centro:

[tex3]\$x^2 - 4x + y^2 = (x - 2)^2 + y^2 = 4$[/tex3]

Estando nessa forma, podemos comparar a equação com a fórmula geral circunferência:

[tex3]\$(x - xc)^2 + (y - yc)^2 = R^2$[/tex3]

Assim deduzimos que o centro está em (2,0) e o raio é 2

Agora vejamos a intersecção entre a reta e a circunferência, que se dá pelo sistema envolvendo as duas equações:
[tex3]\left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x \\ x^2-4x+y^2=0\end{array}\right.[/tex3]

Substituimos [tex3]y =\frac{\sqrt{3}}{3}x[/tex3] na equação da circunferência e obtemos:

[tex3]4x^2 - 12x = 0[/tex3] ; [tex3]x = 3[/tex3]

Agora substituimos novamente na equação da circunferênca para obtermos y:

[tex3]\$3^2 - 4.3 + y^2 = 0$[/tex3] ; [tex3]y =\sqrt{3}\quad ou\quad -\sqrt{3}[/tex3]
Os pontos do triângulo são:

[tex3]A = [2,0]\quad ;\quad B = [3,\sqrt{3}]\quad e\quad C = [3, -\sqrt{3}][/tex3]

Montando um triângulo com esse pontos, percebemos que se trata de um triâgulo de base [tex3]2\sqrt{3}[/tex3] [que seria a distância entre B e C] e altura 1 [distância entre a reta x = 3 e ponto A], sendo assim temos:
[tex3]\$A_t\quad =\quad \frac{b.h}{2}\quad = \frac{2\sqrt{3}.1}{2}\quad ;\quad A_t\quad =\quad \sqrt{3}u.a.$[/tex3]

LETRA A

Até a próxima!