Olimpíadas ⇒ IMO Canadá- Substituições trigonometricas

[jreis]

Resolva a equação nos reais.
[tex3]x^3-3x=\sqrt{x+2}[/tex3]

desde já agradeço.
jreis

[triplebig]

Observamos que [tex3]2[/tex3] é raíz.

Fazendo [tex3]x=2\cos \alpha[/tex3] temos:

[tex3]8\cos^3\alpha-6\cos \alpha=\sqrt{2(1+\cos \alpha)}[/tex3]

[tex3]2(4\cos^3\alpha-3\cos \alpha)=\sqrt{2(2\cos^2\frac{\alpha}{2})}[/tex3]

[tex3]2\cos3\alpha=2\cos\frac{\alpha}{2}[/tex3]

[tex3]3\alpha=\frac{\alpha}{2}+2k\pi[/tex3]

[tex3]\therefore\;\alpha=\frac{4k\pi}{5}[/tex3]

ou

[tex3]3\alpha=-\frac{\alpha}{2}+2k\pi[/tex3]

[tex3]\therefore\;\alpha=\frac{4k\pi}{7}[/tex3]

Agora vem o trabalho extremamente chato de analisar qual raíz serve e qual não serve. Acho que o mais difícil foi feito. Se eu não me engano a outra raíz é [tex3]{-}\frac{1+\sqrt{5}}{2} \;\;(\cos \frac{4\pi}{5})[/tex3]