Pré-Vestibular ⇒ (VUNESP - 1998) Geometria Espacial

[ALDRINMOD]

Na figura, os planos [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são perpendiculares e se interceptam segundo a reta [tex3]r[/tex3]. Os pontos [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3], [tex3]C[/tex3], e [tex3]D[/tex3] com [tex3]A[/tex3] e [tex3]D[/tex3] em [tex3]r[/tex3], são os vértices de um quadrado e [tex3]P[/tex3] é o ponto de interseção das diagonais do quadrado. Seja [tex3]Q[/tex3], em [tex3]\beta[/tex3], o ponto sobre o qual cairia [tex3]P[/tex3] se o plano [tex3]\alpha[/tex3] girasse de [tex3]90^\circ[/tex3] em torno de [tex3]r[/tex3], no sentido indicado na figura, até coincidir com [tex3]\beta[/tex3].

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Se [tex3]AB=2\sqrt3[/tex3], calcule o volume do tetraedro [tex3]APDQ[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

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Se o ponto [tex3]Q[/tex3] coincide com o ponto [tex3]P[/tex3], significa que [tex3]PT=TQ[/tex3] que é a própria altura do tetraedro.A área do tetraedro corresponde a [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] da área do quadrado , pois, [tex3]P[/tex3] é o ponto de encontro das diagonais e que dividi o quadrado en quatro triângulos iguais.

Cálculo da área da base:

[tex3]A_b=\frac{(2\sqrt{3})^2}{4} \Rightarrow A_b=3[/tex3]

[tex3]PT=TQ=\sqrt{3}[/tex3], que corresponde a metade do lado do quadrado.

Logo , o volume do tetraedro é :

[tex3]V=\frac{1}{3}A_b.h \Rightarrow V=\frac{1}{3}.3.\sqrt{3} \Rightarrow V=\sqrt{3}[/tex3] unidades de volume