Pré-Vestibular ⇒ (UDESC - 2008) Geometria Analítica Tópico resolvido

[eduardofsk]

Gente, me ajudem a resolver e por favor me expliquem a questão abaixo:

"Encontre a equação da reta [tex3]r[/tex3] que intercepta o eixo [tex3]x[/tex3] negativo, formando com este um ângulo de [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3], e que intercepta a elipse [tex3]9x^2+y^2-4y+3=0[/tex3] em um ponto do primeiro quadrante, cuja ordenada é igual a [tex3]2[/tex3]."

[cajuADMIN]

Olá eduardofsk,

Primeiramente vamos encontrar qual a abscissa do ponto do primeiro quadrante com ordenada 2 e que intercepta a elipse [tex3]9x^2+y^2-4y+3=0[/tex3]. Para isso, vamos somente substituir [tex3]y=2[/tex3] e descobrir qual o [tex3]x[/tex3]:

[tex3]9x^2+(2)^2-4(2)+3=0[/tex3]

[tex3]9x^2=1[/tex3]

[tex3]x^2=\frac{1}{9}[/tex3]

[tex3]x=\pm\sqrt{\frac 19}[/tex3]

[tex3]x'=\frac 13\text{ ou }x''=-\frac 13[/tex3]

Como o exercício diz que esse ponto é no primeiro quadrante, o [tex3]x[/tex3] só pode ser positivo. Portanto, [tex3]x=\frac 13[/tex3]

Ou seja, o ponto pelo qual a reta passa é [tex3]\(\frac 13,\,\,2\)[/tex3]

O coeficiente angular da reta nada mais é do que a tangente do ângulo que a reta forma com o semi-eixo [tex3]x[/tex3] positivo no sentido anti horário, e é exatamente o ângulo dado.

Portanto, a equação da reta fica:

[tex3]y=\tan\(\frac{\pi}{4}\)x+b[/tex3]

Agora só devemos encontrar o coeficiente linear [tex3]b[/tex3].

Para isso, iremos simplesmente substituir o ponto encontrado na equação acima (e também [tex3]\tan\(\frac{\pi}{4}\)=1[/tex3]):

[tex3]2=1\cdot \frac 13+b[/tex3]

[tex3]b=2-\frac 13[/tex3]

[tex3]b=\frac 53[/tex3]

Pronto, a quação pedida fica:

[tex3]y=x+\frac 53[/tex3]

Um grande abraço,
Prof. Caju

[eduardofsk]

Agora sim, entendi tudo!
Obrigado, Professor Caju! ^^

Forte abraço!