Concursos Públicos ⇒ Geometria Analítica: Inequações do 2º Grau

[paulo testoniMOD]

Inscreve-se retângulos na região definida pelas desigualdades [tex3](x-1)^2-3y \leq 9[/tex3] e [tex3](x-1)^2+y \leq 9 .[/tex3] Em tais condições, determine a área do retângulo de perímetro máximo.

[marco_sx]

Olá!

[tex3](x-1)^2-9 \leq 3y \Rightarrow y \geq \frac{1}{3}.(x-4).(x+2)\text{ }(i)[/tex3]

[tex3]y \leq 9-(x-1)^2 \Rightarrow y \leq -(x-4).(x+2)\text{ }(ii)[/tex3]

A região limitada pelas duas desigualdades está indicada na figura abaixo.

• 

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Transladando os gráficos:

• [tex3]y_i=\frac{1}{3}\cdot (x-3)\cdot (x+3)=\frac{x^2}{3}-3[/tex3]
  [tex3]y_{ii}=-(x-3)\cdot (x+3)=-x^2+9[/tex3]

Dessa forma a região fica simétrica em relação ao eixo [tex3]y.[/tex3]

Um dos lados do retângulo será [tex3]b=2x[/tex3] e o outro será [tex3]h=-x^2+9 - \left(\frac{x^2}{3}-3\right)=-\frac{4x^2}{3}+12.[/tex3]

Desse modo, o perímetro do retângulo é dado por:

• [tex3]2p=2 \cdot \left[2x -\frac{4x^2}{3}+12\right]=-\frac{8}{3}\cdot x^2+4x+24[/tex3]

O perímetro é máximo para

• [tex3]x=\frac{-4}{2\cdot \left(-\frac{8}{3}\right)}=\frac{3}{4}[/tex3]

Logo,

• [tex3]b=2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}[/tex3] e [tex3]h=-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 +12 = \frac{45}{4}.[/tex3]

Finalmente,

• [tex3]S=b\cdot h = \frac{3}{2}\cdot \frac{45}{4} =\frac{135}{8}=16,875.[/tex3]