IME / ITA ⇒ (EEAR - 2002) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A figura abaixo é a planificação de um poliedro convexo [tex3](A=B=C=D;\ E=F)[/tex3]. O volume desse poliedro, em unidades de volume, é:

poliedro.GIF (8.36 KiB) Exibido 7045 vezes

a) [tex3]\frac{425}{2}[/tex3].
b) [tex3]\frac{425}{3}[/tex3].
c) [tex3]\frac{850}{3}[/tex3].
d) [tex3]\frac{850}{2}[/tex3].

Resposta

---

c

[GilRodrigues]

Unindo as arestas, surgirão 2 Pirâmides de bases quadradas e faces laterais triangulares, como na imagem a seguir:

Piramide.PNG (8.85 KiB) Exibido 7025 vezes

Sendo que ,na maior delas, as faces triangulares são triângulos isósceles e ,na menor, as arestas da base e das faces laterais são todas iguais.

Para a maior pirâmide então:
Obs.:A nomeclatura dos vértices dos triângulos nas figuras separadas não está de acordo com o da pirâmide da primeira imagem,questão de olhar e analisar...

Tri.png (3.16 KiB) Exibido 7025 vezes

[tex3]\overline{AB}[/tex3] = Apótema da pirâmide = g;
[tex3]\overline{BD} = \frac{5\sqrt{2}}{2}[/tex3];
[tex3]\overline{AD} = 13[/tex3];

[tex3](13)^2= g^2 + \frac{50}{4}[/tex3]
[tex3]g^2 =\frac{626}{4}[/tex3]

Tomando por base agora a figura 1(a pirâmide), temos que:
[tex3]\overline{EM} = g[/tex3]
[tex3]\overline{FM} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\overline{EF} = h[/tex3]

Achando a altura da pirâmide:

[tex3]g^2 = h^2 + \frac{50}{4}[/tex3]
[tex3]\frac{626}{4} - \frac{50}{4}= h^2[/tex3]
[tex3]h^2 = 144 \ \Rightarrow \ h = 12[/tex3]

Volume...
[tex3]V_1 = \frac{1}{3} . 50 . 12[/tex3]
[tex3]\boxed{V_1 = \frac{600}{3}}[/tex3]

Agora a segunda pirâmide...

Tri.png (3.16 KiB) Exibido 7025 vezes

Os 3 lados medem [tex3]5\sqrt{2}[/tex3] então a altura que é igual a apótema da pirâmide será:

[tex3]g= \frac{5 \sqrt{2}. \sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]g =\frac{5 \sqrt{6}}{2}[/tex3]

Tomando por base agora a figura 1(a pirâmide), temos que:
[tex3]\overline{EM} = g[/tex3]
[tex3]\overline{FM} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\overline{EF} = h[/tex3]

Altura da pirâmide:
[tex3](\frac{5 \sqrt{6}}{2})^2 = h^2 + (\frac{5 \sqrt{2}}{2})^2[/tex3]
[tex3]h^2 = 25 \ \Rightarrow \ h = 5[/tex3]

Volume...
[tex3]V_2 = \frac{1}{3}.50.5[/tex3]
[tex3]\boxed{V_2 = \frac{250}{3}}[/tex3]

[tex3]\therefore[/tex3]

[tex3]Volume \ Total = V_1 + V_2 \ \Rightarrow \frac{600}{3} \ + \ \frac{250}{3}[/tex3]

[tex3]\boxed{R.:\frac{850}{3}}[/tex3]