IME / ITA ⇒ (ITA - 1974) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um lado de um triângulo [tex3]ABC[/tex3] mede [tex3]\ell\text{ cm}[/tex3]. Os valores dos ângulos e dos lados do triângulo formam duas progressões aritméticas. A área [tex3]S[/tex3] desse triângulo é

a) [tex3]\ell^2(\sqrt3-1)\text{ cm}^2[/tex3].
b) [tex3]\ell^2(\sqrt3+1)\text{ cm}^2[/tex3].
c) [tex3]\ell^2(\sqrt3)\text{ cm}^2[/tex3].
d) [tex3]\frac{\ell^2\sqrt3}{4}\text{ cm}^2[/tex3].
e) [tex3]n.d.r.a[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

ITA-1974 Geometria Plana.GIF (1.98 KiB) Exibido 1081 vezes

Os lados do triângulo foram colocados dessa forma porque ao maior lado opõem-se o maior ângulo.

[tex3]\alpha+\alpha-r+\alpha+r=180^\cir \Rightarrow 3\alpha =180^\circ \Rightarrow \alpha =60^\circ[/tex3]

Aplicando o Teorema dos cossenos no [tex3]\Delta ABC[/tex3] temos:

[tex3]l^2=(l+q)^2+(l-q)^2-2(l+q)(l-q)cos60^\circ[/tex3]

[tex3]\Rightarrow l^2=l^2+2lq+q^2+l^2-2lq+q^2-2(l^2-q^2).\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow l^2=2l^2+2q^2-l^2+q^2 \Rightarrow 3q^2=0 \Rightarrow q=0[/tex3]

Sendo [tex3]q=0[/tex3], conclui-se que o triângulo é equilátero e [tex3]r=0[/tex3]

Logo, a área [tex3]S[/tex3] será:

[tex3]S=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Alternativa:d

[cajuADMIN]

Olá adrianotavares,

Muito legal sua resposta e sua argumentação. Diria estarem corretíssimas se o enunciado afirmasse, de alguma forma, que o lado [tex3]\ell[/tex3] é o lado de tamanho médio (como você afirmou em sua resolução).

Mas, e se o lado de comprimento [tex3]\ell[/tex3] for o lado de maior comprimento? E se for o de menor comprimento?

Eu já acho que a resposta é letra E. E vocês?

Um grande abraço,
Prof. Caju

[triplebig]

Olá Professor Caju e adrianotavares,

A resolução do adrianotavares foi feita sem perda de generalidade, pois sendo [tex3]\ell[/tex3] o lado de maior lado, por exemplo, teríamos os outros como sendo [tex3]\ell-2r\;,\;\ell-r[/tex3]

Então a P.A seria [tex3]\{(\ell-r)-r\;,\;(\ell-r)\;,\;(\ell-r)+r\}[/tex3] , aonde [tex3]\ell-r=\ell '[/tex3] seria o lado médio, resultando na mesma resolução.
Eu fiz aplicando lei dos senos, e o resultado deu o mesmo, então eu acredito que a resposta seria mesmo a letra D encontrada pelo adrianotavares

Abraço!

[Leandro]

Eu não consigo resolver pela lei dos senos
Alguém me dá uma força, por obséquio.