Pré-Vestibular ⇒ (UFC - 2010) Progressão Geométrica Infinita

[vini_scien]

A progressão geométrica infinita [tex3](a_1,a_2,...,a_n,...)[/tex3] tem razão [tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]a_1=1[/tex3]. Determine o menor inteiro positivo [tex3]n[/tex3] tal que [tex3]S_n[/tex3], a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos da progressão, satisfaz a desigualdade [tex3]S_n > \frac{8191}{4096}[/tex3].

Resposta

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[tex3]n = 14[/tex3].

[matbatrobin]

[tex3]S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}\,>\,\frac{8191}{4096} \\ \, \\ \frac{1}{2^{n-1}}\,<\,\frac{1}{4096}=\frac{1}{2^{12}} \,\Rightarrow \,n-1\,>\,12\, \Rightarrow n\,>\,13[/tex3]

Então [tex3]n=14[/tex3].

[vini_scien]

Valeu mano!
Mas tenho umas dúvidas. Essa fórmula é da P.G. finita ou da infinita? No matemática elementar tem essa fórmula, mas não diz se é para finita ou infinita. E ela é escrita assim: [tex3]S_n=\frac{a_1*q^n-a_1}{q-1}[/tex3]. Os sinais estão trocados?
E onde foi parar o 8191 mano?

[matbatrobin]

Seguinte a P.G é infinita porém para calcular a soma dessa P.G. até um certo termo, "a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos da progressão" temos usar de a soma finita , visto que a questão é justamente sobre o número mínimo de termos necessários. Eu tenho esse livro e sim a fórmula que eu usei é para uma soma finita de termos.

Agora indo para a soma infinita,

[tex3]S{\infty}=\frac{a_1}{1-q}[/tex3] e além disso [tex3]2=\frac{8192}{4096}[/tex3], assim

[tex3]2-\frac{1}{2^{n-1}}\, > \,\frac{8191}{4096}\,\Rightarrow \,\frac{1}{2^{n-1}}\, < \,2-\frac{8191}{4096}\, \Rightarrow \frac{1}{2^{n-1}} \,<\,\frac{1}{4096}\, \Rightarrow \,2^{n-1} \,> \,2^{12}[/tex3]

E por último os sinais estão trocados mas está correto, se trata do truque número 1 da matemática que consiste em multiplicar, em cima e embaixo na fração, por um mesmo valor,(no caso por menos 1) observe:

[tex3]\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \cdot \frac{(-1)}{(-1)}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}[/tex3], você pode usar qualquer uma das duas...

[vini_scien]

Beleza matbatrobin. Agora eu entendi, valeu.