Pré-Vestibular ⇒ (UFSM - 2008) Trigonometria

[hkrammes]

Algumas dificuldades de aprendizagem podem estar relacionadas com problemas visuais que o aluno tem devido a seu posicionamento em sala de aula.
Em uma sala de aula, um aluno está sentado próximo à parede, de frente para o quadro-negro. O quadro tem 4m de comprimento e começa a 1m dessa parede. Se o aluno está a x metros da parede onde está o quadro, então o angulo de visão ALFA pode ser expresso por:

por favor, vejam a questão em http://coperves.proj.ufsm.br/provas/VES ... 9_UFSM.pdf
As respostastem apenas tg ALFA = .....
É fornecido ainda a seguinte formula no problema: tg (a+b) = (tga + tgb) / (1 - tga*tgb)

A resposta certa é a E.
tg ALFA = 4x/(x²+5)

Calculei:
A e B são ALFA e B é o resto do angulo do lado de ALFA.
Somo eles, pois so posso utilizar (tg ALFA = cateto oposto / cateto adjacente) em triangulos retangulos, nao em escalenos.
Utlizei tg A+B= 5/x

Tambem calculei o pequeno triangulo da esquerda, o angulo dele, que acredito ser isso

tgB=1/x

Para calcular, subtrai o total A+B de B, para conseguir a formula para achar tg ALFA.
ALFA=tgA+B - tgB
Entretando o resultado é tg ALFA=4/x.
nao consigo sair desta questão, e encontrar a melhor forma para resolver!

[ALDRINMOD]

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Abraço.

[hkrammes]

Boa tarde.
Encontrei a solução para o problema, após muito pensar:
O que procuramos é o ALFA1 (apresentado na formula incial como item a ser descoberto)
Segue ela:

O pensamento inicial estava certo.
Portanto o angulo
B = 1/x (o cateto oposto é 1 metro da parede e o adjacente é x); vou chamalo de ALFA2 para nao causar confusao a partir de agora
ALFA2 ou tgb = 1/x

A soma do ALFA2 com ALFA1 é 5/x (o cateto oposto é 1 metro da parede mais o quadro 4 metros e o adjacente tambem é x)
ALFATotal ou tg(a+b) = 5/x

Como fornecida a formula tg (a+b) = (tg+tgb)/(1-tga*tgb) basta utilizar ela agora.
É um pouco complicado, mas da pra isolar o tga que é quem procuramos e chegar ao resultado.

o tg (a+b) é o resultado da tangente a soma dos 2 angulos, ALFA1 e ALFA2

Aplicado a formula dada, chega-se ao resultado.

Um detalhe do problema é que se voce nao cuidar, utiliza-se apenas tg = x/a o que resulta numa outra resposta: 4/(\sqrt (x²+1) ), o que é incorreto, pois não é possivel utilizar apenas tg = x/a, pois o angulo é de um triangulo escaleno e tal formula apenas pode ser utilizada em triangulos retangulos.