Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 1981) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Na pirâmide regular de base quadrada, temos as informações dadas na figura. Calcular o valor da expressão [tex3]k=V-100[/tex3], onde [tex3]V[/tex3] é o volume do tronco.

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[GilRodrigues]

Primeiro,cálculo da apótema da pirâmide menor,que corresponde à altura do triângulo isósceles da face.

tri.png (5.06 KiB) Exibido 1294 vezes

[tex3]\overline{AB} = \overline{AC} = \frac{15}{2}[/tex3]
[tex3]\overline{AH} = a_3[/tex3]
[tex3]\overline{HC} = \frac{9\sqrt{2}}{4}[/tex3]

[tex3](\frac{15}{2})^2 = (a_3)^2 + (\frac{9\sqrt{2}}{4})^2[/tex3]

[tex3](a_3)^2 = \frac{738}{16}[/tex3]

Altura da pirâmide menor:
[tex3](a_3)^2 = h^2 + \frac{162}{16}[/tex3]

[tex3]h=6[/tex3]

Semelhança..

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L1 e L2 = Lado dos quadrados.

[tex3]\overline{AD} = 6[/tex3]

[tex3]\overline{AB} = 6 + x[/tex3]

[tex3]\overline{DE} = \frac{L1\sqrt{2}}{2} = \frac{9}{2}[/tex3]

[tex3]\overline{BC} = \frac{L2\sqrt{2}}{2} = 6[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}[/tex3]

[tex3]\frac{6}{6 + x} = \frac{9}{12}[/tex3]

[tex3]x = 2[/tex3] , logo a altura do tronco é 2.

b = Área menor.
B = Área maior.

[tex3]b = \frac{81}{2}[/tex3]

[tex3]B = 72[/tex3]

Média Geométrica das áreas das bases = 54.

Volume do tronco..

[tex3]V_t= \frac{2}{3}[72 + 54 + \frac{81}{2}][/tex3]

[tex3]V_t = 111[/tex3]

[tex3]\therefore[/tex3]

[tex3]k = V_t - 100[/tex3]
[tex3]k = 111 - 100[/tex3]
[tex3]\boxed{k = 11}[/tex3]