Ensino Superior ⇒ Duvida em 2 exercicios de derivadas Tópico resolvido

[igones]

Estou estudando derivadas, to indo bem, mas cheguei na parte gráfica e travei nesse exercicio. Não tenho ideia do que fazer pra resolver ele. Ele faz parte de uma apostila que meu professor passou como revisão.

1)
http://img694.images hack.us/i/revisao.jpg/ (Questão link, TIRE O ESPAÇO)
Não entendi como achar tal área. Deculpe por postar imagem, mas é um grafico =/

2)
Sejam f(x) e g(x) 2 funções derivaveis em A, com f(x) > 0 para todo x E A.
- Mostre que [tex3][f(x)^g(x)]' = f(x)^g(x).[g(x)ln(f(x))]'[/tex3]

- Utilizando o resultado acima determine [tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3], onde y = [tex3]x^x[/tex3]

Não to conseguindo chegar a resposta certa nessa 2 questão, =/

Obrigado, abraços!

[AlexandreHDK]

A primeira questão é relativamente fácil se você considerar que não é um exercício de derivada, e sim, de integral.
Ele quer que você calcule a soma de 3 integrais envolvendo 2 funções, vamos chamar de y1 e y2. y1 é a parábola [tex3]y1 = 4 - x^2[/tex3] e y2 é a reta [tex3]y2 = -x-2[/tex3]. A primeira integral é da função (y2 - y1), com x variando de -2 até -1. A segunda integral é da função (y1 - y2), com x variando de -1 até 2. A terceira integral é da função (y2 - y1), com x variando de 2 até 3.
Vamos lá, sem preguiça, já dei o caminho.

Para a segunda, vamos usar a relação:
[tex3]\left\{ \ln [f(x)] \right\}' = \frac{f'(x)}{f(x)}[/tex3]

Vamos dizer que:
[tex3]y(x) = f(x)^{g(x)}[/tex3]
Então, o que estamos buscando é o valor de [tex3]y'(x)[/tex3].
Tirando o logaritmo dos 2 lados:
[tex3]\ln \left[ y(x) \right] = \ln \left[ f(x)^{g(x)} \right] = g(x)\cdot \ln \left[ f(x) \right][/tex3]
Tirando a derivada dos 2 lados:
[tex3]\left\{ \ln \left[ y(x) \right] \right\}' = \left\{ g(x)\cdot \ln \left[ f(x) \right] \right\}'[/tex3]
Aplicando a 1a. relação:
[tex3]\frac{ y'(x) }{y(x)} = \left\{ g(x)\cdot \ln \left[ f(x) \right] \right\}'[/tex3]
[tex3]y'(x) = y(x) \left\{ g(x)\cdot \ln \left[ f(x) \right] \right\}'[/tex3]
Voltando o y(x):
[tex3]y'(x) = f(x)^{g(x)} \left\{ g(x)\cdot \ln \left[ f(x) \right] \right\}'[/tex3]
Eis a sua prova.

No seu exemplo, [tex3]f(x) = x[/tex3] e [tex3]g(x) = x[/tex3] então:
[tex3]y'(x) = x^x \left[ x\cdot \ln (x) \right]'[/tex3]
Agora aplique a regra da derivada do produto e encontre a sua resposta

[igones]

Ele disse que é pra resolver derivando as funções 0o, como faz?!
Muito obrigado cara, abraços!