Ensino Superior ⇒ Integral Impropria Tópico resolvido

[leha]

ok. essa questão eu encontreia a seguinte resposta.1\4. seria isso?

Alguem pode me ajudar?

abraço a todos

[tex3]\int_0^1\!{\frac{\arcsen(x)}{\sqrt{1-x^2}}}[/tex3]

[AlexandreHDK]

Vamos primeiro calcular a integral [tex3]\int_b^a{\frac{arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}}dx[/tex3]
Chamaremos [tex3]u = arcsin(x)[/tex3] e [tex3]dv = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx[/tex3]
O legal é que [tex3]du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx[/tex3] e que [tex3]v = arcsin(x)[/tex3]
Usando a relação (integração por partes):
[tex3]\int_b^a{u\cdot dv} = |u\cdot v|_b^a - \int_b^a{v\cdot du}[/tex3]
Temos:
[tex3]\int_b^a{\frac{arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \left|[arcsin(x)]^2\right|_b^a - \int_b^a{\frac{arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}}dx[/tex3]
[tex3]2 \int_b^a{\frac{arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \left|[arcsin(x)]^2\right|_b^a[/tex3]
E então chegamos a:
[tex3]\int_b^a{\frac{arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \left|\frac{[arcsin(x)]^2}{2}\right|_b^a[/tex3]

Agora podemos calcular:
[tex3]\int_0^1\!{\frac{arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}} = \left| \frac{[arcsin(x)]^2}{2} \right|_0^1=\frac{arcsin(1)^2 - arcsin(0)^2}{2}[/tex3]
[tex3]\int_0^1\!{\frac{arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}} =\frac{\(\frac{\pi}{2}\)^2 - 0^2}{2} = \frac{\pi^2}{8}[/tex3]

[J Francisco]

Ólá.

É isso mesmo. Mas a integral [tex3]\int_b^a{\frac{arcsin(x)}{\sqrt(1-x^2)}}dx[/tex3]
é do tipo u.du
Chamando [tex3]u = arcsin(x)[/tex3] e [tex3]du = \frac{1}{\sqrt(1-x^2)}dx[/tex3]

Assim:

[tex3]\int_b^a{u.du} = |(u^2)/2|_b^a[/tex3]

Substituindo teremos:

[tex3]\int_b^a{\frac{arcsin(x)}{\sqrt(1-x^2)}}dx = \left|\frac{[arcsin(x)]^2}{2}\right|_b^a[/tex3]

Agora a continuação já foi feita pelo AlexandreHDK

[ManUtd]

Olá


Apesar da resposta está certa, o modo de encontra-lá não está correto, já que se trata de uma integral imprópria (perceba que em x=1 a função integranda tem uma descontinuidade infinita).O correto seria :


[tex3]\int_{0}^{1} \frac{arc \; senx}{\sqrt{1-x^2}} \; dx=\lim_{p \to 1^{-} } \; \int_{0}^{p} \;\frac{arc \; senx}{\sqrt{1-x^2}} \; dx[/tex3]

[tex3]\int_{0}^{1} \frac{arc \; senx}{\sqrt{1-x^2}} \; dx=\lim_{p \to 1^{-}} \; \frac{(arc \; sen x)^2}{2}[/tex3]


[tex3]\int_{0}^{1} \frac{arc \; senx}{\sqrt{1-x^2}} \; dx= \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2}=\frac{\pi^2}{8}[/tex3]



Se tentarmos ignorar o fato da integral ser imprópria poderemos obter resultados falsos.