Ensino Médio ⇒ Porcentagem e Eleições Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Um total de [tex3]x[/tex3] pessoas votou para escolher um de dois candidatos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] a certo posto. O candidato [tex3]A[/tex3] venceu, obtendo [tex3]55\%[/tex3] do total de votos, não tendo havido votos em branco nem anulados. Se em cada grupo de [tex3]8[/tex3] eleitores que votaram em [tex3]A,[/tex3] um tivesse mudado o seu voto, o candidato [tex3]B[/tex3] teria ganho a eleição por [tex3]300[/tex3] votos. O número [tex3]x[/tex3] de eleitores foi:

a) 8400
b) 12000
c) 6400
d) 8000
e) 7200

[cajuADMIN]

Olá José,

Digamos que o candidato A obteve [tex3]V_A[/tex3] votos e o candidato B obteve [tex3]V_B[/tex3] votos e [tex3]x[/tex3] é a quantidade total de votantes. Portanto:

(1) [tex3]V_A+V_B=x[/tex3]

Também é dito que A ganhou com 55% dos votos, ou seja:

(2) [tex3]V_A=0,55\cdot x[/tex3]

Substituindo (2) em (1), temos:

(3) [tex3]V_B=0,45\cdot x[/tex3]

1 em cada 8 da população é equivalente a [tex3]\frac{x}{8}[/tex3] da população. Se somarmos essa quantia à quantidade de votos de B, devemos diminuir essa mesma quantia [tex3]\frac{x}{8}[/tex3] de A (pois esse pessoal deixou de votar em A para votar em B).

nova quantidade de votos de B = [tex3]V_B+\frac{x}{8}[/tex3]

nova quantidade de votos de A = [tex3]V_A-\frac{x}{8}[/tex3]

A diferença destas novas quantidades é 300 (pois o enunciado diz que B ganharia com diferença de 300 votos):

(4) [tex3]V_B+\frac{x}{8}-\left(V_A-\frac{x}{8}\right)=300[/tex3]

Agora substituimos (2) e (3) em (4) e podemos calcular o valor de x.

[tex3]0,45\cdot x+\frac{x}{8}-\left(0,55\cdot x-\frac{x}{8}\right)=300[/tex3]

Resolvendo para x, encontramos

[tex3]x=2000[/tex3]

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br

[Karl Weierstrass]

Oi Caju,

Se [tex3]A[/tex3] obteve [tex3]0,55x[/tex3] votos, então [tex3]B[/tex3] recebeu o voto de [tex3]0,45x[/tex3] pessoas.

Se [tex3]1[/tex3] em cada [tex3]8[/tex3] eleitores de [tex3]A[/tex3] tivessem mudado de candidato, então [tex3]A[/tex3] teria obtido [tex3]\Large\frac{7}{8}\cdot \large0,55x[/tex3] votos e [tex3]B[/tex3] [tex3]0,45x+\Large\frac{1}{8}\cdot \large0,55x.[/tex3] Sabendo que nessa situação [tex3]B[/tex3] venceria por [tex3]300[/tex3] votos, temos

• [tex3]0,45x + \Large\frac{1}{8}\cdot \large0,55x - \Large\frac{7}{8}\cdot \large0,55x =300[/tex3]
  
  [tex3]0,45x - \Large\frac{3}{4}\cdot \large0,55x =300[/tex3]

Multiplicando ambos os lados da igualdade por [tex3]400,[/tex3] obtemos

• [tex3]180x - 165x =120000\Longrightarrow x=8000.[/tex3]