Ensino Médio ⇒ Progressão Aritimética Tópico resolvido

[DouglasM]

Provar que os termos de uma P.A. qualquer em que 0 não participa, verificam a seguinte relação:

[tex3]\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \frac{1}{a_3 a_4} + ... + \frac{1}{a_{n-1} a_n} = \frac{n-1}{a_1 a_n}[/tex3]

[adrianotavares]

Olá, Douglas M.

Como sabemos que [tex3]a_2-a_1=a_3-a_2=a_n -a_{n-1}=r[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{1}{a_1a_2}=(\frac{a_2-a_1}{a_1a_2}).\frac{1}{(a_2-a_1)}=(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}).\frac{1}{r}[/tex3]

Dessa forma podemos escrever:

[tex3]\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+....+\frac{1}{a_{n-1}-a_n}=(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}).\frac{1}{r}+(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}).\frac{1}{r}+...+(\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n}).\frac{1}{r}=[/tex3]

[tex3]=\frac{1}{r}(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n})=\frac{1}{r}(\frac{a_n-a_1}{a_1a_n})=\frac{1}{r}(\frac{a_1+(n-1).r-a_1}{a_1a_n})=\frac{n-1}{a_1a_n}[/tex3]

[DouglasM]

Perfeito. =)

Muito obrigado Adriano, até a próxima!

[GilRodrigues]

Bem explicado mesmo !
Adriano é fera na Matemática !