IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1952) Equação

[ALDRINMOD]

Resolva a equação [tex3]x^3-2x^2-11x+12=0[/tex3] sabendo que uma das raízes é igual à soma das duas outras.

[AlexandreHDK]

Sabe-se que para qualquer polinômio, a soma das raízes é igual a [tex3]\frac{-b}{a}[/tex3], sendo [tex3]b[/tex3] o coeficiente do termo de um grau abaixo do maior grau do polinômio e [tex3]a[/tex3] o coeficiente do termo de maior grau, no caso,[tex3]b = -2[/tex3], e [tex3]a = 1[/tex3].
Chamaremos as raízes de [tex3]x_1[/tex3], [tex3]x_2[/tex3] e [tex3]x_3[/tex3]. O problema diz que [tex3]x_1 = x_2 + x_3[/tex3].
Sabemos que [tex3]x_1 + x_2 + x_3 = 2[/tex3], pela propriedade descrita acima.
Assim, chegamos à conclusão de que [tex3]x_1 = 1[/tex3].
Podemos abaixar a ordem do polinomio, chegando à equação [tex3]x^2 - x - 12 = 0[/tex3] e resolvendo a equação do 2º grau, chegamos a [tex3]x_2 = 4[/tex3] e [tex3]x_3 = -3[/tex3]