Pré-Vestibular ⇒ (UFPA - 2009) Função Exponencial

[amaury]

Uma força nessa questão

Em 2007, um negociante de arte novaiorquino vendeu um quadro a um perito, por 19.000 dólares. O perito pensou tratar-se da obra hoje conhecida como La Bella Principessa, de Leonardo Da Vinci, o que, se comprovado, elevaria o valor da obra a cerca de 150 milhões de dólares. Uma das formas de se verificar a autenticidade da obra adquirida seria atestar sua idade usando a datação por Carbono 14. Esse processo consiste em se estimar o tempo a partir da concentração relativa de Carbono 14 (em relação à quantidade de Carbono 12) em uma amostra de algum componente orgânico presente na obra.
Considere as seguintes afirmações sobre essa
verificação de autenticidade da obra:
I A concentração de carbono é dada por umafunção do tipo [tex3]C(t) = Co .e^{-kt}[/tex3] , constantes positivas;
II. A meia-vida do carbono 14 é 5.700 anos, ou seja, a concentração se reduz à metade de 5.700 anos:[tex3]C(5700)=\frac{Co}{2}[/tex3]

III. Na análise da obra de arte, verificou concentração de carbono era 95,25%, isto é, que 0 C(t ) = 0,9525.Co

Tendo por base as informações acima e que log (0,9525) = - 0,0702 (o log é de base 2) , é correto a idade da obra ( t ) é, aproximadamente,

(A) 200 anos.
(B) 300 anos.
(C) 400 anos.
(D) 500 anos.
(E) 600 anos.

[fabit]

Na informação I, vou dividir pela concentração inicial e isso vai facilitar, porque já fica em termos de uma proporção f(t).

[tex3]f(t)=\frac{C(t)}{C-0}=e^{-kt}[/tex3]

Agora, monto um sistema com as informações II e III.

[tex3]\begin{cases}f(5700)=\frac{1}{2}\\f(x)=0,9525\end{cases}[/tex3], onde [tex3]x[/tex3] é o valor de t que estamos procurando.

[tex3]\begin{cases}e^{-k.5700}=\frac{1}{2}\\e^{-kx}=0,9525\end{cases}[/tex3]

Tirando log base 2:

[tex3]\begin{cases}\log_2\(e^{-k.5700}\)=\log_2\(\frac{1}{2}\)\\\log_2\(e^{-kx}\)=\log_2\(0,9525\)\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}-5700k\log_2\(e\)=-1\\-kxlog_2\(e\)=-0,0702\end{cases}[/tex3]

Vou dividir a debaixo pela de cima que já corta o k e o log do e:

[tex3]\frac{x}{5700}=0,0702\Rightarrow x=0,0702\times5700=57\times7,02=400,14[/tex3]

Resposta C.