Olimpíadas ⇒ Olimpíada Norte Americana - AHSME 2009

[marcelostick]

No quadrilátero ABCD , AB = 5 , BC = 17 , CD = 5 e DA = 9 . BD é um número inteiro . Quanto mede BD ?

BD é um segmento que liga o vértice B até D .

a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15

Infelizmente não tenho o gabarito.
Abraços

[fabit]

Seja K a medida de BD. Considerando o triângulo ABD, de medidas 5, K e 9, por "desigualdade triangular" (ou "condição de existência de triângulo"), vale a desigualdade 9-5<K<9+5 e portanto K deve ser um natural que é 5, 6, ..., até 13.

Considerando o BCD, de medidas 5, K e 17, vale 17-5<K<17+5 e aí K pode valer de 13 até 21.

Logo K=13.

Outro modo de escrever, mais formal, é:
[tex3]\max\{9-5;17-5\}<K<\min\{9+5;17+5\}[/tex3]

[tex3]\max\{4;12\}<K<\min\{14;22\}[/tex3]

[tex3]12<K<14[/tex3]

[tex3]K=13[/tex3]