IME / ITA ⇒ (Escola de Aeronáutica - 1943) Trigonometria

[ALDRINMOD]

Calcular a soma [tex3]\arctg \frac{1}{7}+2\arctg \frac{1}{3}=x[/tex3]

Resposta

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[tex3]\boxed{x=K\pi+\frac{\pi}{4}}[/tex3]

[fabit]

Vejamos a tangente de x:

[tex3]\tan(2\arctan\frac{1}{3})=\frac{2\tan(\arctan\frac{1}{3})}{1-\tan^2(\arctan\frac{1}{3})}=\frac{2.\frac{1}{3}}{1-\(\frac{1}{3}\)^2}[/tex3]

[tex3]\tan(2\arctan\frac{1}{3})=\frac{2/3}{1-\frac{1}{9}}=\frac{2}{3-\frac{1}{3}}=\frac{6}{9-1}=\frac{3}{4}[/tex3]

[tex3]\tan(\arctan\frac{1}{7}+2\arctan\frac{1}{3})=\frac{\tan(\arctan\frac{1}{7})+\frac{3}{4}}{1-\tan(\arctan\frac{1}{7})\times\frac{3}{4}}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}\times\frac{3}{4}}[/tex3]

[tex3]\tan(\arctan\frac{1}{7}+2\arctan\frac{1}{3})=\frac{28(\frac{1}{7}+\frac{3}{4})}{28(1-\frac{1}{7}\times\frac{3}{4})}=\frac{4+21}{1-3}[/tex3]

[tex3]\tan(\arctan\frac{1}{7}+2\arctan\frac{1}{3})=\frac{25}{25}=1[/tex3]

Então [tex3]x=\frac{\pi}{4}[/tex3] (não vai morrer na praia e responder em graus, hein! Em nenhum momento o enunciado disse que x era um ângulo)