IME / ITA ⇒ (EPCAR/Magistério - 2010) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere a figura abaixo.

figura.JPG (7.91 KiB) Exibido 1480 vezes

Nela, [tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado de lado [tex3]a[/tex3], [tex3]\hat{AB}=\hat{BC}=\hat{CD}=\hat{DA}[/tex3] são arcos de circunferência cujo raio mede [tex3]a[/tex3].
A expressão algébrica que permite calcular a área hachurada em função da medida [tex3]a[/tex3] do lado do quadrado é

a) [tex3]a^2\left(\frac{2\pi}{3}-\sqrt3\right)[/tex3].
b) [tex3]\frac{a^2}{2}\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)[/tex3].
c) [tex3]a^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right)[/tex3].
d) [tex3]a^2(\pi-2)[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

Segmento circular 1.GIF (1.69 KiB) Exibido 1477 vezes

A área hachurada colocada em cada lado do quadrado é igual a área de um segmento circular retirada de setor circular de [tex3]60^\circ[/tex3], pois, o raio da circunferência é igual ao lado do quadrado .Logo, a área total hachurada é:

[tex3]A_t=4\left(\frac{\pi a^2}{6}-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)\Rightarrow A_t=4\left(\frac{2\pi a^2-3a^2\sqrt{3}}{12}\right)\Rightarrow A_t=a^2\left(\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\right)[/tex3]

Alternativa:a