IME / ITA ⇒ (EPCAR/Magistério - 2010) Seqüência Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um tonel, cuja capacidade máxima é de [tex3]600[/tex3] litros, está cheio de vinho. Para esvaziar este tonel, retira-se a metade do vinho, a seguir [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] do que restou, depois [tex3]\frac{1}{4}[/tex3], [tex3]\frac{1}{5}[/tex3], [tex3]\frac{1}{6}[/tex3], [tex3]\frac{1}{7}[/tex3], [tex3]...[/tex3], sucessivamente, sempre retirados do que restou na retirada anterior.

É correto afirmar que ficaram no tonel

a) [tex3]6[/tex3] litros de vinho após [tex3]100[/tex3] retiradas.
b) [tex3]3[/tex3] litros de vinho após [tex3]199[/tex3] retiradas.
c) [tex3]30[/tex3] litros de vinho após [tex3]20[/tex3] retiradas.
d) [tex3]60[/tex3] litros de vinho após [tex3]11[/tex3] retiradas.

[fabit]

Seja [tex3]V(n)[/tex3] o volume restante após n retiradas (pode-se falar em [tex3]n=0\Rightarrow V=V_0=V(0)=600[/tex3] sem problemas).

Ao retirar metade, multiplicamos por 1/2: [tex3]V(1)=\frac{1}{2}.V_0[/tex3]

Ao retirar 1/3 do que sobrou, multiplicamos V(1) por 2/3: [tex3]V(2)=\frac{2}{3}.V(1)[/tex3]

Ao retirar 1/4 da sobra, multiplicamos por 3/4: [tex3]V(3)=\frac{3}{4}.V(2)[/tex3]

As multiplicações seguem como 4/5, 5/6, 6/7, etc.

Numeradores e denominadores vão se cancelando, sobrando sempre o denominador da última etapa, assim:

[tex3]V(n)=V_0\times\frac{1}{\cancel{2}}\times\frac{\cancel{2}}{\cancel{3}}\times\frac{\cancel{3}}{\cancel{4}}\times\frac{\cancel{4}}{\cancel{5}}\times\frac{\cancel{5}}{\cancel{6}}\times\cdots\times\frac{\cancel{n}}{n+1}[/tex3]

Assim, o termo geral é [tex3]V(n)=\frac{600}{n+1}[/tex3] e aí fica valendo a letra b.