Pré-Vestibular ⇒ (CICE - 1970) Geometria Plana Tópico resolvido

[DouglasM]

Na figura abaixo, [tex3]r[/tex3] é o raio do círculo maior e [tex3]t[/tex3] é o comprimento da tangente [tex3]\overline{AB}[/tex3] comum aos dois círculos menores. Então, a área assinalada compreendida entre o círculo maior e os dois menores é:

a) [tex3]\frac{\pi r^2}{8}[/tex3]

b) [tex3]\frac{\pi rt}{8}[/tex3]

c) [tex3]\frac{\pi t^2}{8}[/tex3]

d) [tex3]\frac{\pi(t - r)^2}{8}[/tex3]

e) Nada disso

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Resposta

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Resposta: Letra C

[hygorvv]

Na figura abaixo, [tex3]r[/tex3] é o raio do círculo maior e [tex3]t[/tex3] é o comprimento da tangente [tex3]\overline{AB}[/tex3] comum aos dois círculos menores. Então, a área assinalada compreendida entre o círculo maior e os dois menores é:

a) [tex3]\frac{\pi r^2}{8}[/tex3]

b) [tex3]\frac{\pi rt}{8}[/tex3]

c) [tex3]\frac{\pi t^2}{8}[/tex3]

d) [tex3]\frac{\pi(t - r)^2}{8}[/tex3]

e) Nada disso

O anexo cice70.jpg não se encontra mais disponível

Resposta

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Resposta: Letra C

cice70.jpg (12.98 KiB) Exibido 3286 vezes

aplica pitágoras no triangulo [tex3]ACD[/tex3]
[tex3]r^{2}=(\frac{t}{2})^{2} + x^{2} \to x=\frac{\sqrt{4r^{2} -t^2}}{2}[/tex3]
note que o diametro(D) da menor circunferencia vale [tex3]r-x \to r-\frac{\sqrt{4r^{2} -t^2}}{2} \to \frac{2r-\sqrt{4r^{2} -t^2}}{2}[/tex3]
e o diametro(D') da maior circunferencia interna vale [tex3]r+x \to r+\frac{\sqrt{4r^{2} -t^2}}{2} \to \frac{2r\sqrt{4r^{2} -t^2}}{2}[/tex3]
a área da regiao hachurada é dada pela área da maior circunferencia menos as áreas das duas cirunferencias internas
entao
[tex3]Sh=\pi r^{2} - \frac{\pi}{4}(D^{2} + D'^{2})[/tex3]

[tex3]D^2=\frac{8r^{2} - 4r. \sqrt{4r^2 - t^2}-t^{2}}{4} \\
D'^{2}=\frac{8r^{2}+ 4r. \sqrt{4r^2 - t^2}}{4}-t^{2}[/tex3]
substituindo, temos
[tex3]Sh=\pi r^{2} - \frac{\pi}{4}(\frac{8r^{2} - 4r. \sqrt{4r^2 - t^2} -t^{2} +8r^{2}+ 4r. \sqrt{4r^2 - t^2} -t^{2}}{4})[/tex3]
[tex3]Sh=\pi r^{2} - \frac{\pi}{16}(16r^{2} - 2t^{2})[/tex3]
[tex3]Sh=\pi r^{2} - \frac{\pi}{8}(8r^{2} -t^{2})[/tex3]
[tex3]Sh=\frac{8\pi r^{2}-8\pi r^{2} + \pi t^{2}}{8}[/tex3]
[tex3]Sh=\boxed{\frac{\pi t^{2}}{8}}[/tex3]

espero que seja isso

[adrianotavares]

Olá, DouglasM.

(CICE- 1970) Geometria Plana.GIF (3.96 KiB) Exibido 3284 vezes

[Aplicando as relações métricas no triângulo retângulo teremos:

[tex3]\frac{t^2}{4}=2x.2y \Rightarrow 2xy=\frac{t^2}{8}[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3]2x+2y=2r \Rightarrow x+y=r[/tex3]

Elevando ambos os membros ao quadrado teremos:

[tex3]x^2+2xy+y^2=r^2 \Rightarrow x^2+y^2=r^2-2xy[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]x^2+y^2=r^2-\frac{t^2}{8}[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

A área hachurada é dador:

[tex3]A_h=\pi[r^2-(x^2+y^2)]\Rightarrow A_h=\pi [r^2-(r^2-\frac{\pi}{8}] \Rightarrow A_h=\frac{\pi t^2}{8}[/tex3]

Alternativa:C

[DouglasM]

É isso ai mesmo hygorvv e Adriano! Obrigado pelas respostas. Até a próxima.

[PréIteano]

Potência de ponto:

[tex3]\frac{t}{2}.\frac{t}{2}=2x.2y\rightarrow xy=\frac{t^{2}}{16}\ (I)[/tex3]

Área sombreada (S):

[tex3]S=\pi r^{2}-\pi (x^{2}+y^{2})\ (II)[/tex3]

Mas [tex3]x+y=r\rightarrow (x+y)^2=r^2=x^2+y^2+2xy\ (III)[/tex3]

[tex3](I)\ em\ (III):\ x^2+y^2=r^2-2.\frac{t^2}{16}=r^2-\frac{t^2}{8}\ (IV)[/tex3]

[tex3](IV)\ em\ (II):\ S=\pi r^2-\pi\left(r^2+\frac{t^2}{8}\right)=\frac{\pi t^2 }{8}[/tex3]