Pré-Vestibular ⇒ (PUC-RJ - 1958) Trigonometria

[ALDRINMOD]

Dê a expressão geral de uma das soluções da equação:

[tex3]4sen^2x+sen2x-3cos^2x=0[/tex3]

Resposta

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[tex3]k\pi+33^\circ4'[/tex3]

[fabit]

Eu sei decorado que [tex3]\cos2x=2\cos^2x-1[/tex3]. Aí isolo o cosseno ao quadrado: [tex3]\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}[/tex3]. Pra quê?

Pra eliminar cossenos e senos ao quadrado. Veja:
[tex3]4\sin^2x+\sin2x-3\cos^2x=0[/tex3]

[tex3]4(1-\cos^2x)+\sin2x-3\cos^2x=0[/tex3]

[tex3]4-4\cos^2x+\sin2x-3\cos^2x=0[/tex3]

[tex3]4-7\cos^2x+\sin2x=0[/tex3]

[tex3]4-7\(\frac{1+\cos2x}{2}\)+\sin2x=0[/tex3]

[tex3]8-7(1+\cos2x)+2\sin2x=0[/tex3]

[tex3]8-7-7\cos2x+2\sin2x=0[/tex3]

[tex3]7\cos2x-2\sin2x=1[/tex3]

Vou chamar [tex3]2x=b[/tex3] e [tex3]a=\pi+\arctan\frac{-7}{2}\Rightarrow\begin{cases}\sin a=\frac{7}{\sqrt{7^2+2^2}}=\frac{7}{\sqrt{53}}\\\cos a=\frac{-2}{\sqrt{7^2+2^2}}=\frac{-2}{\sqrt{53}}\end{cases}[/tex3]
(se não somar pi no a, ele fica no quarto quadrante e aí troca o sinal do seno e do cosseno, o que não atrapalha nada a solução, mas eu não gosto, prefiro assim)

Divido pela raiz de 53:
[tex3]\frac{7}{\sqrt{53}}\cos2x-\frac{2}{\sqrt{53}}\sin2x=\frac{1}{\sqrt{53}}[/tex3]

[tex3]\sin a\cos b+\sin b\cos a=\frac{1}{\sqrt{53}}[/tex3]

[tex3]\sin(a+b)=\frac{1}{\sqrt{53}}\Rightarrow a+b=\frac{\pi}{2}\pm\arccos\frac{1}{\sqrt{53}}+2k\pi;k\in\mathbb{Z}[/tex3]

Melhorando [tex3]a=\pi+\arctan\frac{-7}{2}=\pi-\arctan\frac{7}{2}[/tex3], temos:

[tex3]2x+\pi-\arctan\frac{7}{2}=\frac{\pi}{2}\pm\arccos\frac{1}{\sqrt{53}}+2k\pi;k\in\mathbb{Z}[/tex3]

[tex3]2x=\arctan\frac{7}{2}-\pi+\frac{\pi}{2}\pm\arccos\frac{1}{\sqrt{53}}+2k\pi;k\in\mathbb{Z}[/tex3]

[tex3]x=\boxed{\frac{\arctan\frac{7}{2}\pm\arccos\frac{1}{\sqrt{53}}}{2}-\frac{\pi}{4}+k\pi};k\in\mathbb{Z}[/tex3]

Na calculadora escolhendo o + do [tex3]\pm[/tex3], bateu com a resposta. Só que tem o - também, né?