IME / ITA ⇒ (EN-2004) Inequação Modular Tópico resolvido

[Natan]

O conjunto de todos os números reais que satisfazem a desigualdade [tex3]|1-2x|+|x+1|-|2x-3|>2[/tex3] é?

Poderiam por favor detalhar a resolução para min?, não consego entender o desenvolvimento desse tipo de inequação.

[hygorvv]

O conjunto de todos os números reais que satisfazem a desigualdade [tex3]|1-2x|+|x+1|-|2x-3|>2[/tex3] é?

Poderiam por favor detalhar a resolução para min?, não consego entender o desenvolvimento desse tipo de inequação.

para [tex3]x \ge 0[/tex3]
[tex3]1-2x+x+1-2x-3>2[/tex3]
[tex3]x>3[/tex3]

para [tex3]x<0[/tex3]
[tex3]1-2x+x+1-2x-3<-2[/tex3]
[tex3]x<-1[/tex3]

[tex3]S={x \in R | 3 < x < -1}[/tex3]

acho que seria isso

[petrasMOD]

Natan, hygorvv,

O correto seria

Os pontos críticos são onde cada uma das expressões modulares se anula:
[tex3]1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}\\
x + 1 = 0 \implies x = -1 \\
2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}
[/tex3]
Portanto teremos os intervalos
[tex3]x < -1\\
-1 \leq x < \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} \leq x < \frac{3}{2}\\
x \geq \frac{3}{2} [/tex3]

Quadro de sinais
[tex3]1-2x(-1)1-2x(1/2)-1+2x(3/2)-1+2x(I)\\
-x-1(-1)x+1(1/2)x+1(3/2)x+1(II)\\
-2x+3(-1)-2x+3(1/2)-2x+3(3/2)2x-3 (III) \\
----------------------\\
(I)+(II)-(III) >2\\
1-2x-x-1-(-2x+3) > 2 \implies -x-3 > 2\\
\therefore x < -5 \checkmark\\
1-2x+x+1-(-2x+3)> 2 \implies x-1 >2\\
\therefore x > 3 \notin -1 \leq x < \frac{1}{2}\\
-1+2x+x+1-(-2x+3) >2 \implies 5x-3 >2\\
\therefore x > 1 \implies 1 < x < \frac{3}{2} \checkmark\\
-1+2x+x+1-(2x-3) > 2 \implies x+3 >2\\
\therefore x > -1 \implies x \geq \frac{3}{2} \checkmark\\
\therefore \boxed{(-\infty,-5) \cup(1,\infty)}
[/tex3]